И уравнения парной регрессии

Регрессии. Проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии, корреляции

Качество модели регрессии — адекватность построенной моn дели исходным (наблюдаемым) данным.

Качество парной линейной регрессии определяется с поn мощью парного линейного коэффициента корреляции:

r = =,

xy − xy Cov (x, y) yx G (x) G (y) G (x) G (y)

где G (x) — среднеквадратическое отклонение независимого призn нака;

G (y) — среднеквадратическое отклонение зависимого признака.

Коэффициент парной линейной корреляции можно рассчиn татьчерезМНКnоценкупараметрауравнениярегрессииb:

b

=

r.

G (x) yx G (y)

yx

−

Парный коэффициент корреляции показывает тесноту связи между изучаемыми признаками. Он изменяется в пределах [−1; + 1]. Если r Î [0;+1] то связь между признаками прямая. Если ryx Î [−1; 0], то связь между признаками обратная. Если ryx= 0, то связь между признаками отсутствует. Если ryx = 1 или C = 1,то связь между изучаемыми признаками является функциональной,

т. е. характеризуется полным соответствием между x и y. Чем блиn

же | rxy | к 1, тем более тесной считается связь между изучаемыми признаками.

Парный коэффициент корреляции определяется для количеn ственных переменных.

Если парный линейный коэффициент корреляции ryx возn

вести в квадрат, то получим коэффициент детерминации r2yx. Данный коэффициент показывает, на сколько процентов вариаn

ция результативного признака объясняется вариацией факторноn

го признака в общем объеме вариации.

Чтобы оценить качество линейной множественной модели реn грессии, необходимо воспользоваться теоремой о разложении дисперсий.

å

,

.

i

Общая дисперсия зависимой переменной может быть разлоn жена на две составляющие — объясненную и необъясненную поn строенным уравнением регрессии дисперсии:

s

d

G 2(y)= 2(y)+ 2(y),

где

n

(yi − yi)2

=

s (y)= i 1 n

— объясненная с помощью поn строенного уравнения регрессии дисперсия переменной y;

n

i

d

=

()=

y

—необъясненнаяилиосn å e 2таточная дисперсия переn 2 i 1 менной y. n

s

С помощью данной теоремы можно рассчитать множественn ный коэффициент корреляции между результативным признаn ком y и несколькими факторными признаками x:

Ry =

2(y)

G 2(y)

Множественный коэффициент корреляции показывает тесn ноту связи между результативным и факторными признаками. Трактовка его значений аналогична трактовке значений парного линейного коэффициента корреляции.

Квадрат множественного линейного коэффициента корреляn ции называется теоретическим коэффициентом детерминации:

=

R.

2 s (y) y G 2(y)

y

Этот коэффициент показывает, на сколько процентов вариаn ция результативного признака объясняется вариацией факторn ных признаков x. Величина 1− R 2 показывает ту долю вариации

результативного признака, которую модель регрессии учесть не смогла.

n

Среднеквадратическая ошибка (Mean square error — MSE) уравнения регрессии схожа по построению с показателем средГ неквадратического отклонения:

MSE =

å e 2 i =1

n − h

где h — число параметров уравнения регрессии.

Если MSE окажется меньше s(y), то построенную модель можn но считать качественной. Показатель среднеквадратического отn клонения наблюдаемых значений зависимой переменной от моn дельных значений, рассчитанных по уравнению регрессии, определяется как:

s

n

i

å e 2(y)= i = n.

Показатель средней ошибки аппроксимации рассчитывается по формуле:

å

i

A =

.

1 n y − y y n i =1 yi

Максимально допустимым значением данного показателя считается 12—15%. Если средняя ошибка аппроксимации составn ляет менее 6—7%, то качество модели считается хорошим.

Дата добавления: 2013-12-12