Коэффициентов и уравнения регрессии

И проверки гипотезы о значимости

Для модели парной линейной регрессии. Примеры оценивания параметров парной регрессии

Целью построения регрессионной функции на основе эмпиn рических данных является не только аппроксимация исходных данных с заданной точностью, но и возможность дальнейшего применения в экономических расчетах полученного уравнения регрессии. В частности, на основе регрессионной модели можно рассчитать прогнозное значение результативного признака при заданном значении факторного признака.

m

Для модели парной линейной регрессии точечный прогноз заn висимой переменной y при заданном значении независимой переn менной x будет выглядеть следующим образом:

m 0 1 m m

y = b + b x + e.

С доверительной вероятностью gили (1 − a)точечная оценка

прогноза результативного признака ym попадет в интервал прогn ноза, который определяется по формуле:

()

w

ym − t (m)£ ym £ ym + t w m,

где ym — точечная оценка прогноза результативного признака;

t — tnкритерий Стьюдента, который определяется в зависимоn сти от заданного уровня значимости aи числа степеней свобоn ды (n − 2) (в случае парной регрессионной модели);

w(m) — величина ошибки прогноза в точке m.

Величина ошибки прогноза рассчитывается по формуле:

ç ÷

æ ö

m

(

2

e

,

ç ÷

n

å

()

−

x x

ç ÷

i

w()= S 2()´ç n +1+ nxm − x) ÷ç 2÷ è i =1 ø

где S 2(e) — несмещенная оценка дисперсии случайной ошибки линейного уравнения парной регрессии.

Рассмотрим подробнее процесс определения величины ошибn ки прогноза.

Пусть задана парная линейная регрессионная модель следующеГ го вида:

(

b

b

e

yi = 0+ 1 xi − x) + i,

где независимая переменная x представлена в центрированном виде. Необходимо построить прогноз зависимой переменной y при

(

b

b

e

заданном значении независимой переменной xm: ym = 0+ 1 xm − x) + m.

Математическое ожидание зависимой переменной y в точке m определяется как:

(

(

b

b

e

E ym xm) = 0+ 1 xm − x) + m.

Дисперсия зависимой переменной y в точке m определяется как:

(

()

b

b

e

)

(

e

b

b

Dym xm − x)= D (0+1 xm − x + m)== D (0)+ D (1 xm − x)+ D (m)=

2

x

n

n

å

(

=

= G 2+(m − x) ´ G 2 2 + G 2, xi − x)

i 1

0 0

где D (b) — дисперсия оценки параметра b парной линейной реn грессии, рассчитываемая по формуле:

å å

e e

()

ç ÷ ç ÷

ç ÷ ç ÷

0 0

n n

æ ö æ ö D b = D b+ i = D i =

è ø è ø

)

e

n n

= n 2å D (i = nG 2= G 2.

m

Точечная оценка прогноза результативной переменной y

()

()

b

b

имеет нормальный закон распределения с математическим ожиn данием o + 1 xm − x и дисперсией

æ ö

(

2

´

ç ÷

å

()

2

n

G 2 ç n +1+ xm − x) ÷:è xi − x ø

ö

()

2

−

+

ç ÷

ç ÷

()

b b

m

ç ÷

ç ÷

å

()

−

x

è ø

è ø

ym xm ~ N æ 0+1 xm − x; G 2æ nn 1+ xxi x 2ö.

é

S

ê

ê

ê

=

i

ç ÷

+

,

ú

ú

ê

ê

ê

ù

(

2

ú

ú

ç ÷

+

,

ú

ú

2

x

ê

Если в выражение для дисперсии зависимой переменной y в точn ке m вместо дисперсии G 2подставить ее оценку выборочную оценку S 2, то можно построить доверительный интервал для прогноза зависимой переменной при заданном значении незавиn симой переменной xm:

é

(

b b

ê

ê

ym xm Îê0+ 1 xm − x)± ê

2æ n +1 xm − x) öùç n å(i − x)÷ú

ê

ë

ë

è ø

ú

û

û

где S 2для модели парной линейной регрессии рассчитывается по следующей формуле:

n

i

=.

S

å e 22 i =1

n −2

ù

Прогнозный интервал можно преобразовать к виду:

é é

(

b b

ym xm Îê0+ 1 xm − x)± ê

ê

ê ë

å

ú

ú

2

i

ú

x

n ù e 2æ n +1 (m − x) öú

2

x

ú

è ø

ú

ú

n −2ç n å(i − x)÷úû

ë

û

что и требовалось доказать. Рассчитаем точечный прогноз.

На основании данных о цене на нефть x (долларов за баррель) и индексе акций нефтяной компании y (в процентных пунктах) было построено уравнение регрессии:

y = 15,317 x + 266,86.

Если цена на нефть подскочит в связи с нефтяным кризисом на Ближнем Востоке и преодолеет рубеж в 20 долларов за баррель, остановившись на отметке в 22,13 доллара за 1 баррель. Требуетn ся определить, какое влияние окажет этот ценовой скачок на уроn вень индекса акций нефтяной компании.

Подставим новое значение независимой переменной в уравn нение регрессии с целью получения прогноза:

y = 15,317´22,13 + 266,86 = 605,825.

Нефтяной кризис благотворно сказался на финансовом полоn жении нефтяной компании, повысив индекс ее акций с 550 проn центных пункта до 605,825 процентных пункта.

Дата добавления: 2013-12-12