Парного линейного уравнения регрессии

Пример оценивания параметров парной регрессии с помощью альтернативного метода

Определим оценки неизвестных параметров парного линейn ного уравнения регрессии с помощью альтернативного метода (табл. 2). Имеются данные по двадцати банкам страны о размере прибыли в денежных единицах (результативная переменная) и объемах выданных кредитов в денежных единицах (факторная переменная).

Таблица 2 Пример определения оценок неизвестных параметров

№ наблюдения	y — прибыль, ден. ед.	x — кредиты, ден. ед.

Окончание табл. 2

№ наблюдения	y — прибыль, ден. ед.	x — кредиты, ден. ед.
Сумма

На первом этапе определим ryx — выборочный парный коэфn фициент корреляции по формуле:

r =

.

yx − y ´ x yx Sy ´ Sx

Рассчитаем вспомогательные характеристики.

yx — среднее арифметическое значение произведения факn торного и результативного признаков:

å

n

n

yx = i =1 yi ´ xi =122060=6103;

å

⎯ y — среднее значение зависимой переменной: n

i

n

y = i =1 y =513=25,65;

å

⎯ x — среднее значение независимой переменной: n

n

x = i =1 xi = 4400=220;

y

S — выборочное среднеквадратическое отклонение зависиn мой переменной y.

Этот показатель характеризует, на сколько единиц в среднем отn клоняются значения зависимого признака y от его среднего знаn чения⎯ y.

å

x

Он вычисляется по формуле:

Sy = y 2− y 2,

где y 2 — среднее значение из квадратов значений результативn ной переменной:

å

n

y

2

y 2= i = ni =14431=721,55;

y 2 — квадрат средних значений результативной переменной:

å

ç ÷

y

æ n ö

ç

ç ÷

n

y 2= i = i ÷=(25,65) =657,92.

ç ÷

ç ÷ è ø

Тогда

Sy = y 2− y 2= 721,55−657,92 =7,97.

Sx — выборочное среднеквадратическое отклонение независиn мой переменной x. Этот показатель характеризует, на сколько

единиц в среднем отклоняются значения независимого признака от его среднего значения ⎯ x. Он вычисляется по формуле:

Sx = x 2− x 2,

где

n

x 2= i =1 i =1059400=52 970;

n

å

ç ÷

æ n ö

ç

ç ÷

n

x 2= i = xi ÷=(220) =48 400.

ç ÷

ç ÷ è ø

Тогда

Sx = x 2− x 2= 52 970−48 400 =67,6.

− r

(

Выборочный парный коэффициент корреляции будет равен:

= = = =

r 0,85.

yx − yx 6103−25,65 ´ 220 460 yx SySx 7,97 ´ 67,6 538,77

На следующем этапе перед построением уравнения регрессии необходимо проверить значимость полученного коэффициента корреляции с помощью tnкритерия Стьюдента.

Выдвигается гипотеза H 0о незначимости парного коэффиГ циента корреляции:

H 0/ ryx =0.

Альтернативной (или обратной) выдвигается гипотеза о знаГ чимости парного коэффициента корреляции:

H 1/ ryx ¹ 0.

Значение tnкритерия Стьюдента для проверки гипотезы

r

()

0/ ryx =0. вслучаепарнойлинейнойрегрессионноймодели рассчитывается по формуле:

tнабл =

yx ´ n −2.

yx

Таким образом,

tнабл =

0,85 ´ 20−2)=29,08.

1 0,852

−

−

Критическое значение tnкритерия tкрит (a; n − h), где a— уроn вень значимости, (n h) — число степеней свободы, определяетn

ся по таблице распределений tnкритерия Стьюдента.

В данном случае tкрит (a; n − h) = tкрит (0,05; 20 − 2)=1,73. Получаем, что наблюдаемое значение tnкритерия по модулю

больше его критического значения, т. е. | tнабл | > tкрит. Основная гиn потеза отклоняется, и парный коэффициент корреляции призn

нается значимым. Построение линейного уравнения регрессии по исходным данным является обоснованным.

Запишем уравнение парной регрессии в виде:

()

b

y = y + yxx − x,

y

где b x — выборочный коэффициент регрессии y по x.

b

Он характеризует, насколько в среднем изменится результаn тивный показатель y при изменении факторного показателя x на единицу своего измерения. Вычисляется выборочный коэффиn циент регрессии y по x с помощью следующей формулы:

y

b

S yx = ryx ´ Sx.

Рассчитаем выборочный коэффициент регрессии y по x на осn нове имеющихся данных:

b

67,6

S

x

yx = ryx ´ Sy =0,85´7,97=0,1.

Уравнение регрессии будет иметь вид:

)

y =25,65+0,1´(x −220.

Экономическая интерпретация данного уравнения выглядит так: если уставной капитал банка изменится на 1 денежную едиn ницу, тогда прибыль в среднем изменится на 0,1 денежную едиn ницу.

Дата добавления: 2013-12-12