Касательная прямая

Пример 10.3

Рассмотрим эллиптическую кривую над. Точки и лежат на, что можно проверить с помощью функции Mod:

p = 31;

a = 11; b = 17; c = 25;

x1 = 2; y1 = 7; x2 = 23; y2 = 9;

F[x_, y_]:= y^2 - (x^3 + a*x^2 + b*x + c);

Mod[F[x1, y1], p] == 0

Mod[F[x2, y2], p] == 0

|| True

|| True

Наклон прямой, проходящей через и, дается в (10.6):
. Мы используем здесь функцию PowerMod, чтобы получить мультипликативное обратное к по модулю.

PowerMod[21, -1, p]

|| 3

Координаты третьей точки пересечения с даются формулами (10.7) и (10.8):

lam = 6;

x3 = Mod[lam^2 - a - x1 - x2, p]

y3 = Mod[lam*(x3 - x1) + y1, p]

|| 0

|| 26

Точка действительно лежит на, что можно проверить вычислением:

Mod[F[x3, y3], p] == 0

|| True

Случай

Допустим теперь, что мы привели уравнение (10.1) к виду (10.4). Как и выше, подставляем соотношение (10.6) в уравнение (10.4) и сравниваем коэффициенты при. Получаем

(10.9)

(10.10)

Заметим, что все знаки "минус" можно заменить знаками "плюс", так как.

Имеется еще одна возможность, которую мы должны обсудить, а именно, когда. Пусть — касательная прямая к, проходящая через. Это означает, что пересекает в точке и наклон у совпадает с производной [ по относительно ] в точке. Обычно рассматривается как точка пересечения с кратностью два.

Над ситуация выглядит так:

ContourPlot[y^2 == x^3 - 5 x - 3, {x, -2, 4}, {y, -4, 4},

Epilog -> Line[{{-2, 2}, {4, -4}}], Axes -> True, Frame -> False]

Рис. 10.3. Касательная к эллиптической кривой.

Мы здесь пока исключили возможность того, что — двойная касательная прямая к (т.е., что кратность точки равна 3). Если бы было именно так, то касательная прямая уже пересекала бы в точке с кратностью 3.

В дальнейшем, говоря о взятии производной многочлена над конечным полем, мы имеем в виду формальное дифференцирование и последующее приведение коэффициентов по модулю характеристики поля. Например, в производная от равна, что приводится к.

Случай

Угловой коэффициент (наклон) касательной равен значению производной функции в соответствующей точке. Наклон касательной прямой, проходящей через точку на кривой (см. (10.2)), задается значением. Мы заключаем, что касательная прямая, проходящая через, дается уравнением

где (10.11)

Для нахождения третьей точки пересечения прямой и кривой можно вновь воспользоваться равенствами (10.7) и (10.8).

Случай

Наклон касательной прямой, проходящей через точку на кривой (см. (10.4)) (напомним общее правило дифференцирования, определяемым из равенства или (учитывая, что,)

Дата добавления: 2013-12-12