Прямая, проходящая через две различные точки

Пример 10.2

Допустим, что мы работаем над. Чтобы найти точки пересечения прямой с кривой, разложим многочлен с помощью функции Factor из пакета "Mathematica"

p = 11;

Clear[x];

ec = x^3 - 5*x + 3;

il = 4*x + 1;

Factor[il^2 - ec, Modulus -> p]

|| 10 (2 + x) (7 + x) (8 + x)

Получаем -значения точек пересечения:, и. Исходя из равенства, находим решения (9, 4), (4, 6) и (3, 2):

x = Mod[{-2, -7, -8}, p]

y = Mod[4*x + 1, p]

||{9, 4, 3}

{4, 6, 2}

Пусть и — две различные точки на эллиптической кривой (обе не в бесконечности). Пусть — прямая, проходящая через и. Как найти третью точку пересечения с? Если и, то по определению третьей точкой пересечения будет.

Поэтому рассмотрим случай.

Общее уравнение линейной функции. Если известны две точки прямой и, получаем систему двух уравнений, из которых находим угловой коэффициент прямой:

Для задания уравнения прямой зададим систему:

вычитая одно уравнение из другого получим уравнение прямой, проходящей через и:

где (10.6)

Обсудим два случая.

Случай

Допустим, что эллиптическая кривая уже записана в приведенной форме
(10.2). Подстановка (10.6) в это равенство дает
. Возводя в квадрат и группируя подобные члены, получим кубическое уравнение

Известно, что сумма корней кубического уравнения равна коэффициенту при, взятому с противоположным знаком (теорема Виета[4] для кубических уравнений), т.е.

,

откуда

(10.7)

и в силу (10.6)

(10.8)

Дата добавления: 2013-12-12