Определение 10.1

Эллиптическая кривая над полем ‑ это множество точек, удовлетворяющих уравнению (10.1), вместе с единственным элементом, называемым точкой в бесконечности.

Проверить, лежит ли точка на данной эллиптической кривой, скажем, над, довольно легко.

p = 5; a = 0; b = 2; c = 3;

EC[x_, y_] = y² - x³ - a*x² – b*x - c;

{u, v} = {1, 4};

Mod[EC[u,v], p] == 0

|| True

Чтобы увидеть, содержит ли кривая точку с заданной -координатой, можно использовать функцию Solve из пакета "Mathematica".

Поскольку уравнение Вейерштрасса квадратично по, получатся самое большее два значения.

p = 11;

Solve [{y² == x³ - 5*x + 3, x == 3, Modulus == p}, {y}]

|| {{Modulus®11, х®3, у®2},{Modulus®11, х®3,у®9}}

Таким образом, приводит к значениям, т.е. к точкам и. Число является противоположным числу по модулю (), что следует из определения противоположного числа в теории алгебраических групп: для аддитивной группы.

САМОСТОЯТЕЛЬНО. Установить ‑ содержит ли кривая точку с -координатой 4, 5, 10.

Из вышесказанного следует, что точка на эллиптической кривой полностью характеризуется координатой и "знаком" при. Если, то "знак" можно определить как "плюс" при условии, и как "минус" в противном случае.

Если, то в качестве "знака" можно использовать "знак" самой левой ненулевой координаты в -ичном представлении.

Для малых значений можно определить все точки на, испытывая все значения и проверяя в каждом случае, будет ли уравнение (10.1) иметь решение. Ниже мы используем функции Flatten, Table и Solve из пакета "Mathematica"

Clear[x, y];

p = 11;

Flatten[Table[Solve[

{y² == x³ - 5*x + 3, x == u, Modulus == p}],

{u, 0, p – 1}], 1]

Мы видим, что при существуют 14 решений. Имеется (неточное) вероятностное рассуждение, предсказывающее число точек на в поле:

· для каждого значения уравнение (10.1) имеет два решения с вероятностью 1/2 и вовсе не имеет решений с такой же вероятностью 1/2, что приводит приблизительно к решениям.

Чтобы подтвердить правдоподобность этого утверждения, рассмотрим правую часть уравнения (10.2), предполагая, что. Если для данного значения правая часть является ненулевым квадратом в (а имеется таких квадратов, именно все четные степени примитивного элемента из), то будет иметь два решения. Если правая часть равна 0, то имеется единственное решение. Никаких других решений нет.

Известная теорема Хассе [3] гласит:

Теорема 10.1 (Хассе)

Пусть — число точек на эллиптической кривой над полем Галуа.

Тогда

Отметим, что в примере выше мы действительно имеем.

Вообще говоря, очень трудно найти точное число точек на эллиптической кривой. Однако имеется алгоритм Шуфа [4], вычисляющий это число (для дальнейшего обсуждения см. также [5]).

Продемонстрируем возможности пакета "Mathematica" в области вычислений над полем, где.

Дата добавления: 2013-12-12