Эллиптическая кривая над полем действительных чисел

Рассмотрим эллиптическую кривую, задаваемую уравнением (10.3)

Поскольку, график кривой симметричен относительно оси абсцисс. Чтобы найти точки его пересечения с осью абсцисс, необходимо решить кубическое уравнение

. (6.2)

Это можно сделать с помощью известных формул Кардано[2]. Дискриминант этого уравнения

. (6.3)

Если:

·, то (6.2) имеет три различных действительных корня;

·, то (6.2) имеет три действительных корня, скажем,, по крайней мере, два из которых равны;

·, то (6.2) имеет один действительный корень и два комплексно сопряженных.

Вид кривой во всех трех случаях представлен на рисунках 6.1 ‑ 6.3.

Рис. 6.1. Эллиптическая кривая Рис. 6.2. Эллиптическая кривая

Рис. 6.3. Эллиптическая кривая

Кривая, представленная на рис. 6.2, называется сингулярной [3]. В ее точке сингулярности имеются две касательные.

Построим эллиптическую кривую над полем действительных чисел. Используем функцию ContourPlot из "Mathematica".

elliptic=ContourPlot[у²==x³-5*x+3,{x,-3,3},Axes®True,Frame®False]

Рис. 10.1. Эллиптическая кривая над полем действительных чисел.

САМОСТОЯТЕЛЬНО заменить коэффициент ‑5 при у функции у²==x³-5*x+3 на ‑4, а затем на ‑3 и посмотреть, как изменится график.

Чтобы увидеть, где прямая пересекает кривую, используем дополнительные функции Epilog и Line.

ContourPlot[y^2 == x^3 - 5*x + 3, {x, -3, 3}, {y, -4, 4},

Epilog -> Line[{{-3, 4}, {4, -3}}], Axes -> True, Frame -> False]

Полученный результат приведен на рис. 10.2.

Рис. 10.2. Пересечение и

Чтобы численно найти точки пересечения, можно воспользоваться функцией NSolve.

NSolve[{y^2 == x^3 - 5*x + 3, y == -x + 1}, {x, y}]

|| {{x -> -1.61803, y -> 2.61803},

{x -> 2., y -> -1.},

{x -> 0.618034, y -> 0.381966}}

Если кривая определена над, то точки ее пересечения с прямой линией можно найти посредством функции Solve следующим образом.

p = 11;

Solve[{y^2 == x^3 - 5*x + 3, y == x - 1, Modulus == p}, {x, y}]

|| {{Modulus -> 11, y -> 1, x -> 2},

Modulus -> 11, y -> 2, x -> 3},

{Modulus -> 11, y -> 6, x -> 7}}

Иной способ нахождения точек пересечения прямой с эллиптической кривой — подставить в уравнение (10.1), получая уравнение третьей степени относительно и находя затем разложение соответствующего многочлена.

Дата добавления: 2013-12-12