Геометрія еліптичних кривих

Пример 10.1

В качестве примера кривой над (‑ примитивный элемент, ‑ неприводимый полином, по модулю которого задаются операции сложения и умножения в поле Галуа) рассмотрим уравнение. Чтобы проверить, лежит ли на этой кривой точка, загрузим сначала пакет "FiniteFields`" из "Mathematica".

<< FiniteFields`

В пакете "Mathematica" поле, определяемое полиномом степени, по модулю которого задаются операции сложения и умножения, записывается в виде.

Для нашего примера неприводимый полином будет задаваться как, а примитивный элемент как. Точка при переводе в 16-ричное исчисление будет такой:,,.

Å
++
	Å	+
	++
	Å
Å

Å
	Å
	Å

f16 = GF[2, {1, 0, 0, 1, 1}];

al = f16[{0, 1, 0, 0}];

EC[x_,y_] = y² - x³ – al*x - 1;

{u, v} = {al², al¹⁴};

EC[u, v]

|| 0

В самом деле,, что можно легко проверить:

al⁶ + al³ + 1

(al¹⁴)²

|| {0, 1, 1, 0}₂

|| {0, 1, 1, 0}₂

Причиной нашего интереса к эллиптическим кривым служит операция сложения, которая может быть на них определена. Относительно этой операции точка в бесконечности служит нулем, а множество обладает структурой аддитивной группы.

Чтобы определить сложение на, воспользуемся тем свойством, что любая прямая, пересекающая по меньшей мере в двух точках, пересекает ее трижды. Точка касания считается здесь за две точки. Точка в бесконечности — это точка пересечения всех "вертикальных" прямых.

Дата добавления: 2013-12-12