Фундаментальные последовательности. Подпоследовательности

Определение7. последовательность,, называется фундаментальной, если

для, что для выполняется:.

Теорема 7. Для того, чтобы последовательность,, сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство. Необходимость. Пусть. По определению это означает, что

для, что для, выполняется:,.

Тогда

.

Достаточность. Пусть - фундаментальная векторная последовательность. По определению это означает, что

для, что для выполняется:.

Зафиксируем. Тогда

для.

Таким образом для каждого фиксированного числовая последовательность является фундаментальной, а потому сходящейся. Тогда по теореме о покоординатной сходимости сходящейся будет и векторная последовательность.

Определение8. Пусть определена векторная последовательность,. Рассмотрим последовательность натуральных чисел

Тогдапоследовательность называют подпоследовательностью.

Утверждение 1. Последовательность, сходится тогда и только тогда, когда сходится каждая ее подпоследовательность.

Утверждение 2. Если из последовательности, можно выделить две подпоследовательности, которые стремятся к разным пределам, то данная последовательность является расходящейся.

Утверждение 3. Если из последовательности, можно выделить две подпоследовательности, которые стремятся к одному пределу, из этого вообще не вытекает сходимость данной последовательности.

Лемма (Больцано-Вейерштрасса). Из каждой ограниченной последовательности,, можно выделить сходящуюся последовательность.

Дата добавления: 2013-12-12