Подстановки

Def. Подстановкой степени n называется взаимно однозначное отображение множества чисел 1, 2, 3, …, n на себя.

Записывают подстановку в виде двух перестановок, записанных друг под другом:

(2.1)

Подстановка обладает многими различными записями вида (2.1). Любая подстановка А может быть записана в виде:

(2.2)

Здесь - перестановка чисел 1, 2, 3, …, n.

Очевидно, что общее число подстановок степени n равно

Def. Подстановка называется четной (нечетной), если общее число инверсий в перестановках, образованных в верхней и нижней строках четно (нечетно).

Если подстановка записана в виде (2.2), то ее четность определяется четностью перестановки во второй строке, поскольку число инверсий в верхней строке равно нулю.

Def. Транспозицией подстановки называется транспозиция одной из перестановок в верхней или нижней строках (но не в обоих одновременно).

Отсюда следует, что всякая транспозиция меняет четность подстановки на противоположную. Число четных подстановок степени n равно числу нечетных подстановок и равно .

Очевидным является следующее утверждение.

Th.2.4

Транспозиция любых столбиков в подстановке не меняет ее четности.

Def. Подстановка называется тождественно й.

Def. Применение одной подстановки вслед за другой тоже будет подстановкой, которую называют произведением первой из заданных подстановок на другую.

N. Пусть и . Найти и . , .

Свойства произведения подстановок:

1. Произведение подстановок некоммутативно, т.е. . 2. Произведение подстановок ассоциативно, т.е. . 3. Произведение любой подстановки на тождественную , а также произведение тождественной подстановки на равно .

Доказательство.

1) Доказательством некоммутативности является приведенный выше пример.

2) Докажем ассоциативность произведения подстановок. Пусть (подстановка А переводит элемент в элемент), , . Тогда, , а . С другой стороны и .

3) Если и , то, перемножая эти подстановки, получаем, что .

Def. Обратной для подстановки А называется такая подстановкатой же самой степени, что .

Очевидно, что для подстановки обратная получается переменой строк, т.е.

. (2.3)

С каждой квадратной матрицей связано определенное число, называемое ее определителем или детерминантом, которое обозначается (или ) и записывается в следующей символьной форме:

(2.4)

Дата добавления: 2013-12-12