Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Системы линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений:

(7.6)

- матрица СЛУ (7.6), - расширенная матрица СЛУ(7.6).

Очевидно, что . Вопрос о совместности системы линейных уравнений решается с помощью следующей теоремы.

Th.7.9 (Кронекера – Капелли) Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда

Доказательство.

Система линейных уравнений несовместна тогда и только тогда, когда в ступенчатой матрице к которой сводится расширенная матрица этой системы появляется строка вида , где . А это означает, что . Таким образом, система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда .

Леопо́льд Кро́некер (7.12.1823 — 29.12.1891) — немецкий математик. Основные труды по алгебре и теории чисел. Большое значение имеют его исследования по арифметической теории алгебраических величин.

Теорема Кронекера-Капелли утверждает существование решения СЛУ, но не указывает практического способа их отыскания. Укажем способ их нахождения.

Пусть СЛУ (7.6) совместна, т.е. . Пусть линейно независимыми являются первые r строк матрицы А и первые r строк матрицы Значит любая другая строка матрицы является линейной комбинацией 1,2,…, r строк. Тогда решение первых r уравнений удовлетворяет остальным. Таким образом, система (7.6) сводится к системе (7.7):

(7.7)

Если , то число уравнений равно числу неизвестных и кроме того . Значит, согласно тереме Крамера, СЛУ имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера.

Если , то число уравнений меньше, чем число неизвестных и существует минор матрицы А r-го порядка отличный от 0. Пусть он расположен в первых r столбцах. Оставим в левой части каждого уравнения первые r слагаемых, а остальные перенесем в правую часть:

(7.8)

В СЛУ (7.8) главный определитель . Если применить к (7.8) правило Крамера, то она имеет единственное решение. Значит, значения выбираем свободно (их называют свободные переменные) и для каждого набора найдем . Таким образом, СЛУ имеет множество решений.

N. Решить систему линейных уравнений .

Решение.

.

Данная СЛУ имеет три неизвестные. Вычислим ранги обеих матриц. . Значит СЛУ совместна и имеет бесконечное множество решений. Базисными строками матриц А и являются первые две строки. Поэтому оставим первые два уравнения системы, а переменную z считаем свободной и переносим ее в правую часть уравнений:

(7.9)

Решаем полученную систему по правилу Крамера.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Замечание 1 | Системы линейных однородных уравнений
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2013-12-12; Просмотров: 270; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.