Свойства умножения вектора на число

1. (10.5) 2. (10.6) 3. (10.7) 4. (10.8)

Доказательство.

Свойство 1 очевидно. Докажем свойства 1-3.

1. Если один из векторов или нулевой, или , то формула (10.5) очевидна. Пусть для простоты и будем использовать правило параллелограмма для сложения векторов. Если вместо и взять и , то получим подобный параллелограмм и его диагональ соответственно равна При формула (10.5) доказывается аналогично.

2. Если хотя бы одно из чисел равно нулю или – нулевой, то равенство (10.6) очевидно. Если одного знака, то векторы и коллинеарны и одинаково направлены. Поэтому:

При направление и сонаправлены с а при противоположно направлены с Таким образом, векторы и имеют равные модули и одинаково направлены, т.е. Аналогично, формула (10.6) доказывается, если разных знаков.

3. Формула (10.7) очевидна, если хотя бы одно из чисел равно нулю или – нулевой.

и .

Если одного знака, то направления векторов и сонаправлены с вектором . Если разных знаков, то векторы и противоположно направлены с вектором Таким образом, .

Def. Разностью векторов и называют вектор Геометрически вычитание векторов получается согласно рис. 10.9.

Рис. 10.9

Дата добавления: 2013-12-12