Системы координат. Геометрический смысл декартовой прямоугольной

Геометрический смысл декартовой прямоугольной

Геометрический смысл декартовой прямоугольной системы координат выражается следующей теоремой.

Th.11.2

Если то

Доказательство.

Пусть . Через конец вектора точку проведем плоскости параллельные координатным плоскостям Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно (рис. 11.9). Очевидно С другой стороны Значит,

Рис. 11.9

Но Теорема доказана .

Следствие. Если то

(11.5)

Доказательство вытекает из формулы длины диагонали в прямоугольном параллелепипеде.

Def. Обозначим углы, которые образует вектор с координатными осями через соответственно. называются направляющими косинусами вектора

Из треугольника (рис. 11.9):

(11.6)

Аналогично получаем

(11.7)

Нетрудно увидеть, что

(11.8)

Скалярное произведение векторов

Def. Скалярным произведением векторов называют число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними. Обозначают или Т.е.

(11.9)

где угол между и

Из формулы (11.9) имеем:

(11.10)

Согласно (11.2)

Заменяя по формуле (11.10), получаем:

(11.11)

Соотношение (11.11) можно записать и в таком виде:

(11.12)

Дата добавления: 2013-12-12