Конические поверхности

Def.Конической поверхностью (конусом) называется поверхность, образованная прямыми, проходящими через данную точку и пересекающими данную линию (рис. 18.10). Эти прямые называются образующими конуса, точка – вершиной конуса, а кривая К – направляющей конуса. Def. Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат задается уравнением

Рис. 18.10

(18.18)

Покажем, что если точка (отличная от начала координат) лежит на конусе второго порядка, то все точки прямой (– начало координат) также лежит на конусе. Пусть – направляющий вектор прямой Согласно (15.2) координаты произвольной точки удовлетворяют соотношениям

Очевидно, что координаты точки удовлетворяют уравнению (18.18), т.е. точка лежит на поверхности конуса. Что и требовалось доказать.

Исследуем форму эллипса по его сечениям координатными плоскостями и плоскостями параллельными им.

1. Линия пересечения конуса второго порядка плоскостью задается уравнением

или (18.19)

Уравнение (18.19) задает пару пересекающихся прямых.

Аналогично можно установить, что плоскость пересекает конус второго порядка также по двум пересекающимся прямым.

2. Уравнения линий пересечения конуса второго порядка с плоскостями имеют вид или (18.20) Уравнение (18.20) задает эллипс с полуосями и , причем с возрастанием значение полуосей увеличивается. Изображение конуса

Рис. 18.11

второго порядка представлено на рис. 18.11.

Def. Если в уравнении (18.18) то сечения конуса второго порядка плоскостями – окружности. Такой конус называется круглым.

Дата добавления: 2013-12-12