Теорема Чебышева (закон больших чисел)

Неравенство Чебышева

Глава 2.2. Закон больших чисел.

Рассмотрим случайную величину Х такую, что . Тогда для любого >0

.

Это неравенство называется неравенством Чебышева.

Пример 3.3. Оценить вероятность того, что для произвольного распределения случайной величины.

Решение. Пользуясь неравенством Чебышева и полагая , получим:

.

Сравнивая полученную оценку с законом трех сигм для нормального распределения, заметим, что неравенство Чебышева дает другую оценку вероятности выполнения данного соотношения. Это является следствием того, что данное неравенство верно для любого распределения случайной величины. Поэтому неравенство Чебышева не имеет практической ценности, а используется в теоретических выкладках, в частности для доказательства теоремы Чебышева.

Неравенство Чебышева можно записать в другом виде:

.

Рассмотрим последовательность случайных величин Х ₁, Х ₂,.., Х_n. Говорят, что данная последовательность случайных величин сходится по вероятности к числу m, если для любого

.

В этом случае записывают: .

Теорема Чебышева (закон больших чисел). Если Х ₁, Х ₂,.., Х_n – попарно независимые случайные величины, причем , а дисперсия - равномерно ограниченная (то есть не превышает некоторого постоянного числа С для любого ), то

,

то есть для любого

Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что при данных условиях при достаточно большом числе случайных величин их среднее арифметическое мало отличается от математического ожидания той случайной величины, среднее арифметическое которой вычисляется.

Сущность теоремы Чебышева такова: хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значение, близкое к математическому ожиданию случайных величин, входящих в сумму.

Другими словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, в то время как их среднее значение рассеяно мало, т.е. среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин утрачивает характер случайно величины.

Раздел 4. Функция одного случайного аргумента.

Система двух случайных величин.

Глава4.1. Функция одного случайного аргумента.

Если каждому значению случайной величины соответствует одно значение случайной величины , то называют функцией случайной величины и записывают:.

Если случайная величина дискретная, а функция монотонная, то каждому значению случайной величины соответствует единственное значение случайной величины , причем вероятности соответствующих значений и одинаковы.

Пример 4.1.1. Дискретная случайная величина имеет распределение:

	0
	0,2	0,4

Найти дисперсию случайной величины .

Решение:

Учитывая функциональную зависимость между двумя случайными величинами, получим закон распределения для случайной величины :

	0
	0,2	0,4

	0
	0,2	0,4
	0
	0,2	0,4

Тогда:

; .

Если случайная величина - дискретная, а функция - немонотонная, то различным значениям случайной величины могут соответствовать одинаковые значения случайной величины . В этом случае, для отыскания вероятностей возможных значений необходимо сложить вероятности тех значений , при которых принимает одинаковые значения.

Пример 4.1.2. Случайная величина имеет распределение:

	-1
	0,2	0,4	0,4

Найти закон распределения случайной величины .

Решение: , если , что возможно с вероятностью 0,4.

, если или . Учитывая, что события и несовместны, получим: .

Таким образом, закон распределения случайной величины имеет вид:

	0,4	0,6

Если - непрерывная случайная величина, с плотностью распределения , а функция строго возрастающая или строго убывающая функция, имеющая обратную функцию , то плотность распределения случайной величины определяется формулой:

. (4.1.1)

Пример 4.1.3: Случайная величина распределена по закону Коши . Найти распределение случайной величины .

Решение: Функция монотонно возрастающая на всей числовой оси функция, для которой обратной является функция , причем . Тогда, пользуясь формулой (4.1.1), получим:

.

В случае если в интервале возможных значений немонотонна, следует разбить этот интервал значений случайной величины на подынтервалы, в которых функция монотонна, и найти плотности распределения для каждого подынтервала, пользуясь формулой (4.1), а затем представить в виде суммы плотностей : , где - число интервалов монотонности.

Пример 4.1.4. Случайная величина распределена равномерно в интервале : .

Найти распределение случайной величины (рис. 4.1).

Решение:

Рис. 4.1.1.

Заметим, что случайная величина может принимать значения, принадлежащие отрезку [0;1]. Разобьем интервал значений случайной величины на котором плотность ее распределения отлична от нуля, на два подынтервала, где функция монотонна:

1. . На этом интервале функция возрастает и имеет обратную функцию , причем .

Тогда .

2. . Функция убывает, , и .

Тогда .

Окончательно: .

Контроль:

Дата добавления: 2013-12-11