Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых

Общие уравнения прямой

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

Если заданы две различные точки и , то за направляющий вектор прямой, проходящей через эти точки, можно взять вектор . Полагая в уравнениях (2.3): , получим канонические уравнения прямой:

. (2.4)

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Рассмотрим систему уравнений:

. (2.5)

Уравнения (2.5) называют общими уравнениями прямой.

От общих уравнений прямой можно перейти к параметрическим уравнениям (2.2). Координаты точки М ₀ прямой l получаем из системы уравнений (2.2), придав одной из координат произвольное значение (например, z = 0). Так как прямая l перпендикулярна векторам и , то за направляющий вектор прямой можно принять векторное произведение этих векторов:

.

Пусть две прямые l ₁ и l ₂ заданы уравнениями:
и .

Под углом между двумя прямыми в пространстве понимают любой из углов, образованных двумя прямыми (векторами, проведенными из одной точки параллельно данным прямым) (рис. 2.3). Поэтому косинус угла между прямыми можно найти по формуле:

. (2.6)

Условие параллельности прямых совпадает с условием коллинеарности векторов и :

. (2.7)

Условие перпендикулярности прямых есть вместе с тем условие перпендикулярности направляющих векторов и :

. (2.8)

Дата добавления: 2013-12-12