Преобразования координат в 2D пространстве

Независимо от выбранного метода проектирования при помощи ЭВМ необходимо иметь в памяти ЭВМ численные данные, описывающие проектируемый объект в некоторой системе (или системах) координат. Если же отдельные части конструкции описываются в различных системах координат, то в памяти машины необходимо иметь данные, описывающие соотношения между выбранными системами координат, с тем чтобы определить относительное положение и ориентацию частей объекта. Эти соотношения, описывающие переход от одной системы координат к другой, называются преобразованиями координат.

В процессе проектирования на любой его стадии может возникнуть необходимость изучения проекта, для чего выполняются чертежи проекции или поперечных сечений проектируемого объекта. Для наглядности чертежи могут быть сделаны в перспективе. Все эти чертежи получаются преобразованием координат объекта в координаты чертежа.

Перед запуском готового проекта в производство система координат, в которой данный проект был выполнен, должна быть соотнесена с системой координат станка; т.о., и на этой стадии необходимо преобразование координат.

Если же проект обладает той или иной симметрией, то в памяти машины достаточно иметь данные, описывающие лишь часть проекта, поскольку чертеж полной конструкции на основании симметрии можно получить при помощи вращений, сдвигов и отражений. Выполняемые в данном случае преобразования являются преобразованиями объектов и совершенно не влияют на систему координат, в которой данный предмет был изображен.

В основе преобразования координат лежат 3 основные формы изменения координатной модели (переход от заданной системы координат к системе координат наблюдателя):

1) перенос;

2) изменение масштаба;

3) поворот осей координат.

Как правило, принято, что само пространство не изменяется, и положение объекта мы считаем неизменным, меняется координатная система наблюдателя.

1) Перенос.

Если идет речь о переносе объекта, то связь между радиус-вектором r^/ перемещенной точки и ее первоначальным положением устанавливается соотношением: где t - вектор перемещения каждой точки рассматриваемого объекта.

Если же переносятся оси координат, а объект фиксирован, тогда связь между координатами новой системы координат O^/x^/y^/ и координатами старой системы Oxy задается соотношениями: , где (t,к) координаты начала новой с.к. относительно старой с.к.

Если новое начало соответствует некоторой точке в старой с.к с координатами О^/(t;k). Тогда некоторая точка К(х;у) из прежней системы координат в новой будет выглядеть как К(х-t,y-k).

Например, если начало новой с.к. лежит в т.О^/(4,6), а т.К в старой с.к. имеет координаты (3,3), тогда в новой с.к. т.К(3-4,3-6), т.е. К(-1,-3).

2)Изменение масштаба.

Новая и старая с.к. имеют одно начало координат, но различные масштабы по осям. Отрезок в одну единицу по оси абсцисс будет соответствовать в новой системе S_x, по оси Y будет соответствовать S_y. Тем самым меняется масштаб точки, т.е ее удаленность от начала координат.

3)Поворот осей координат.

O

Пусть новая и старая с.к. имеют общее начало и масштаб. Новая с.к повернута относительно старой против часовой стрелки на угол . Пусть в старой с.к задана т.Р(х;у). Выразим ее координаты в новой с.к через известные координаты:

Полное преобразование координат производится строго в определенной последовательности:

Дата добавления: 2013-12-12