Свободные колебания системы

Уравнение Лагранжа II рода

Уравнение Лагранжа II рода для механической системы со стационарными голономными связями в общем случае неконсервативных (не потенциальных) сил запишется в виде

,

где — кинетическая энергия системы,

, , — обобщенные потенциальные силы, обобщенные силы сопротивления и обобщенные неконсервативные силы соответственно.

Рассмотрим движение голономной механической системы с одной степенью свободы под действием упругой силы, обладающей потенциалом. Положение системы определяется одной обобщённой координатой, которую будем отсчитывать от равновесного состояния. Тогда движение системы будет описываться одним уравнением Лагранжа II рода:

Подставляя значения кинетической и потенциальной энергии в уравнение Лагранжа, получим дифференциальное уравнение свободных колебаний системы.

,

где — частота свободных колебаний механической системы.

Решение этого уравнения можно записать в виде

или,

где — константы, определяемые из начальных условий:

, или,.

— начальное положение и начальная скорость.

Типичный график движения механической системы, определяемый данным уравнением, изображен на рис. 3. 9. Коэффициенты интегрирования, имеют вполне определенный механический смысл (см. рис. 3. 9):

· — амплитуда свободных колебаний,

· — начальнаяфаза колебаний.

Ошибка! Закладка не определена.

Рис. 3. 9 График свободных колебаний без учета сопротивления

Величина обратная частоте свободных колебаний называется периодом колебаний и определяется выражением .

Дата добавления: 2013-12-12