Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса

ФПВ для суммы нормального случайного процесса и гармонического колебания со случайной начальной фазой.

Рассмотрим случайный процесс z(t), равный:

Z(t) = x(t) + Asin (wt+ j)

где x(t) - нормальный случайный процесс;

Asin (wt+ j) - гармоническое колебание со случайной начальной фазой.

W(z) в этом случае находится сверткой.

Вид ФПВ, т.е. W(z) зависит от параметра:

W(z)

h²=0 h²=¥

h²= 6

Рис.10.8.

0 z

h² = 0 - нормальный случайный процесс (чистый шум).

h² ® ¥ - одно гармоническое колебание.

Случайный процесс y(t) = U_m(t) cos (w₀t+j(t)) называется узкополосным, если его ширина спектра значительно меньше, чем средняя частота w₀.

U_m(t) - огибающая случайного процесса (случайная амплитуда) на рис.11.9;

j(t) - фаза случайного процесса.

Для нормального случайного процесса фаза j(t) распределена равномерно (см. выше).

u(t) Um(t)

Рис.11.9.

t

Огибающая нормального случайного процесса Um(t) распределена по закону Релея:

; U_m ³ 0

W(Um)

з-н Релея

з-н Райса Рис.11.10.

0 Um

Если узкополосный случайный процесс есть сумма нормального шума и гармонического колебания с амплитудой А, то его огибающая распределена по обобщенному закону Релея (закон Райса):

закон Райса.

I₀(.) - функция Бесселя от мнимого аргумента.

11.6.ФПВ и ФРВ для дискретных случайных процессов.

Дискретные случайные процессы принимают с определенной вероятностью значения, отличающиеся одно от другого на конечную величину. Вероятность таких значений – число не равное 0.

Рассмотрим реализацию дискретного случайного процесса.

x(t)

а

T₁

Т₂ t Рис.11.11

b

T₁+T₂=T

Для эргодического стационарного случайного процесса усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной реализации.

T₁/T - вероятность того, что случайный процесс принимает

значение а.

T₂/T - вероятность того, что случайный процесс принимает

значение b.

ФПВ заданного случайного процесса в соответствии с полученным выражением показана на рис.11.12:

W(x)

Рис.11.12.

b 0 a x

ФРВ для случайного процесса принимающего 2 значения x=a и x=b имеет вид:

F(x)

1

T₂/T₁

Рис.11.13.

t

b a

Вычислим среднее значение двоичного дискретного случайного процесса, принимающего 2 значения:

x=a c вероятностью T₁/T, x=b c вероятностью T₂/T

11.7.Нелинейные безынерционные преобразования случайного процесса.

Нелинейное преобразование:

y(t)=f[x(t)] – называется безынерционным, если y(t_k) в момент времени t_k зависит только от x(t_k).

ФПВ для процесса y на выходе:

Пусть характеристика нелинейного элемента может быть аппроксимирована линейно-ломаными.

y

Рис.11.14

b

-a a x

-b

Это нелинейное устройство называется ограничителем.

Пусть на входе ограничителя действует нормальный случайный процесс с нулевым средним m_1x=0.

ФПВ процесса x нарисована на рис.11.15 (верхний рисунок).

Рассчитаем ФПВ процесса y:

1. Пусть у=kx (k>1)

Подставим в W(x) вместо x, y/k, тогда

На интервале ФПВ для у будет нормальной, со средним значением m_1y=0, но дисперсия y, т.е. .

W(x)

x

-a a

W(y)

Рис.11.15.

-ka 0 ka y

2. Пусть:

Выражаем x через у, т.е.

Это нормальная ФПВ со средним значением b и дисперсией

3.Пусть:

Это нормальная ФПВ, m₁= -b и дисперсия .

ФПВ процесса y дана на рис.11.15 (нижний рисунок).

Дата добавления: 2013-12-12