Реактивное движение. Движение тел с переменной массой

Центр масс и закон его движения

В динамике широко используется понятие центра масс системы материальных то чек, который обычно обозначают буквой С. Положение центра масс определяется радиусом-вектором

. (8)

Здесь m_i – масса i -той материальной точки, – радиус-вектор, задающий положение этой точки, – суммарная масса системы.

Отметим, что в однородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести системы. Скорость центра масс

, (9)

где ­– импульс системы. Согласно (9) импульс системы

. (10)

Подставив (10) в (6), получим уравнение движения центра масс

. (11)

Таким образом, центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе системы, под действием результирующей всех внешних сил, приложенных к телам системы.

Для замкнутой системы и, следовательно, [см. (11)]

,(12)

это означает, что центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно, либо покоится.

Система отсчета, относительно которой центр масс покоится, называется системой центра масс. Эта система инерциальна.

Имеется много явлений, в основе которых лежит закон сохранения импульса. Например, полет ракет (и работа реактивных двигателей) основаны на том, что в результате выбрасывания из сопла газов, ракете сообщается такой жеимпульс, который уносят с собой газы. Впервые мысль о возможности такого применения реактивных двигателей была высказана Кибальчичем в 1881 г. Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты.

Пусть m(t) – масса ракеты в произвольный момент времени t, – ее скорость в тот жемомент времени, а – скорость убыли ее массы [m = (dm/dt) ]за счет истечения газов. Импульс ракеты в этот момент будет . В следующий момент времени (t+dt) ракета будет иметь массу , а ее скорость получит приращение и будет равна . Отделившиеся от ракеты газы будут иметь относительно Земли скорость . Тогда импульс ракеты в момент времени (t+dt) равен: , импульс газов . Изменение импульса всей системы (ракета + ее газы) за время dt будет равно:

(13)

В уравнении (13), как членом второго порядка малости можно пренебречь. Согласно второму закону Ньютона скорость изменения импульса за время dt равна внешней силе, действующей на это тело за это время, т. е.: . С учетом (13) находим

(14)

или , (15)

где – скорость истечения газов относительно ракеты. Уравнение (15) называют уравнением Мещерского или уравнением движения точки с переменной массой. Если , то уравнение (15) переходит в уравнение вида:

, (16)

решая которое можно получить:

, (17)

где т ₀ - начальная стартовая масса ракеты (когда ).

Максимальная скорость

, (18)

где т_топл – масса топлива и окислителя. В действительности, скорость будет меньше. Формула (17) называется Формулой Ц и о л к о в с к о г о.

Дата добавления: 2013-12-12