Консервативные и неконсервативные силы

Работа

Л Е К Ц И Я №4. Р А Б О Т А. П О Т Е Н Ц И А Л Ь Н А Я Э Н Е Р Г И Я

Элементарной работой dA силы на малом перемещении точки М приложения силы называется скалярное произведение :

. (1)

Так как скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними, то

, (2)

где - путь точки М за малое время dt; - угол между силой и элементарным перемещением (или скоростью ) точки М; – проекция силы на направление (или ), иногда называют касательной силой.

Из (2) следует, что если , то dA > 0, если , то dA < 0 и при dA = 0.

Работа А₁₂, совершаемая силой на конечном перемещении точки ее приложения М из положения 1 в положение 2, равна сумме элементарных работ (1) на всех малых участках траектории точки М от 1 до 2. Эта сумма приводится к интегралу:

, (3)

где S – дуговая координата точки М, отсчитываемая вдоль ее траектории; S ₁ и S ₂ – значения S точках 1 и 2; – длина траектории между точками 1 и 2, т. е. путь точки М от начального положения 1 до конечного положения 2. В математике этот интеграл называется криволинейным интегралом. Если зависимость задана графически (рис. 1), то элементарная работа (2) численно равна площади заштрихованной площадки. Работа А ₁₂ численно равна площади криволинейной трапеции S ₁12 S ₂.

Единицей работы в СИ служит работа, совершаемая на пути в один метр с силой в один ньютон, действующей в направлении перемещения. Эта единица называется джоулем (Дж), т.е. 1 Дж = 1 Н×1 м.

Заметим, что в джоулях измеряется также энергия, количество теплоты.

Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью:

. (4)

Единицей мощности в СИ является ватт (Вт) – это такая мощность, при которой за одну секунду совершается работа, равная одному джоулю, т. е. 1 Вт = 1 Дж/1с. Заметим, что 1 кВт = 10³ Вт, 1 МВт = 10⁶ Вт, 1 ГВт = 10⁹ Вт (приставка М читается как «мега», а приставка Г – как «гига»). В технике иногда применяется единица мощности, именуемая лошадиной силой (л. с.) и равная 736 Вт.

Все силы, встречающиеся в механике, принято разделять на консервативные и неконсервативные.

Сила, действующая на материальную точку, называется консервативной (потенциальной), если работа этой силы зависит только от начального и конечного положений точки. Работа консервативной силы не зависит ни от вида траектории, ни от закона движения материальной точки по траектории (см. рис. 2): .

Изменение направления движения точки вдоль малого участка на противоположное вызывает изменение знака элементарной работы , следовательно, . Поэтому работа консервативной силы вдоль замкнутой траектории 1 a 2 b 1 равна нулю: .

Точки 1и 2, а также участки замкнутой траектории 1 a 2 и 2 b 1 можно выбирать совершенно произвольно. Таким образом, работа консервативной силы по произвольной замкнутой траектории L точки ее приложения равна нулю:

или . (5)

В этой формуле кружок на знаке интеграла показывает, что интегрирование производится по замкнутой траектории. Часто замкнутую траекторию L называют замкнутым контуром L (рис. 3). Обычно задаются направлением обхода контура L по ходу часовой стрелки. Направление элементарного вектора перемещения совпадает с направлением обхода контура L. В этом случае формула (5) утверждает: циркуляция вектора по замкнутому контуру L равна нулю.

Следует отметить, что силы тяготения и упругости являются консервативными, а силы трения неконсервативными. В самом деле, поскольку сила трения направлена в сторону, противоположную перемещению или скорости, то работа сил трения по замкнутому пути всегда отрицательна и, следовательно, не равна нулю.

4.3. Потенциальная энергия

Если на материальную точку действует консервативная сила, то можно ввести скалярную функцию координат точки ,называемую потенциальной энергией.

Потенциальную энергию определим следующим образом

, (6)

где С - произвольная постоянная, а - работа консервативной силы при перемещении материальной точки из положения вфиксированное положение .

Образуем разность значений потенциальной энергии для точек 1 и 2 (см. рис. 4) и воспользуемся тем, что

.

Правая часть, полученного соотношения, дает работу, совершаемую на пути из точки 1

в точку 2, проходящем через точку О; Вследствие независимости работы от формы пути такая жеработа А совершается на любом другом пути, т.е.

О

. (7)

Рис. 3

Следовательно, работа консервативных сил равна разности значений функции W_n в начальной и конечной точках пути, т.е. убыли потенциальной энергии.

Потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной. Однако, это не имеет существенного значения, поскольку во все физические соотношения входит либо разность значений потенциальной энергии, либо ее производная по координатам.

Дата добавления: 2013-12-12