Преобразование скорости и ускорения

Решение

Пример 2

Катер массы m движется по озеру со скоростью . В момент времени t = 0 выключили двигатель. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости катера, , найти:

а)время движения катера с выключенным двигателем;

б)скорость катера в зависимости от пути, пройденного с выключенным двигателем, а также полный путь до остановки.

По II закону Ньютона , или

.

Разделяя переменные, получаем

при переходе от одной системы отсчёта к другой

В рамках ньютоновской механики длина и время считается абсолютными. Любой масштаб одинаков в разных системах отсчета, т.е. не зависит от движения. Течение времени также одинаково во всех системах.

Имеются две произвольные системы отсчета и , движущиеся относительно друг друга. Известны скорость V и ускорение а некоторой точки в К и ′- системе. Каковы соответствующие значения V ′ и этой точки в -системе?

Рассмотрим три наиболее важных случая движения одной системы отсчета относительно другой.

1. К^' -система движется поступательно по отношению к К -системе.

Пусть в К -системе начало отсчета К' -системы задаётся радиусом-вектром а её скорость и ускорение – векторами V₀ и Если положение точки А в К -системе определяется радиусом-вектором то

Тогда радиус-вектор точки А в обеих системах отсчета будет один и тот же:

Если точка А неподвижна в К^' -системе, то её перемещение в К-системе за время обусловлено только поворотом радиуса-вектора на угол (вместе с К^' -системой) и равно векторному произведению

Если же точка А движется относительно К^' -системы со скоростью то за время она совершит дополнительно перемещение (рис.) и тогда

Разделив это выражение на получим формулу преобразования скорости:

,

где V и V′ скорости точки А в К- и К^'- системах отсчета соответственно.

В соответствии с (1) приращение вектора за время в К -системе должно складываться из суммы приращений векторов и т.е.

Если точка А движется в К^' -системе с то приращение этого вектора в К-системе обусловлено только его поворотом на угол (вместе с К^' -системой) и равно, как и в случае с векторному произведению Если же точка А имеет ускорение в К^' -системе, то за время вектор получит еще дополнительное приращение и тогда

Подставив всё в предыдущее равенство получаем формулу преобразования ускорения:

где и ускорения точки А в К - и К^' - системах отсчета. Второе слагаемое в правой части этой формулы называют кориолисовым (или поворотным) ускорением третье слагаемое – осестремительным ускорением

Таким образом, ускорение относительно К-системы равно сумме трех ускорений:

1. ускорения относительно -системы;

2. кориолисова ускорения ;

3. осестремительного ускорения

Осестремительное ускорение можно представить в виде где радиус-вектор, перпендикулярной оси вращения и характеризующей положение точки А относительно этой оси. Тогда формулу можно переписать так:

3. К^' - система вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, перемещающейся поступательно со скоростью и ускорением по отношению к К -системе.

Этот случай объединяет два предыдущих. Введем вспомогательную S -систему отсчета, которая жестко связана с осью вращения К^'-системы и перемещается поступательно в К-системе. Пусть V и V_S скорости точки А в К и - системах отсчета, тогда

заменив V_S выражением где радиус-вектор точки А относительно произвольной точки на оси вращения -системы, получим следующую формулу преобразования скорости:

Аналогичным образом, найдем формулу преобразования ускорения:

В последних двух формулах V, V′ и скорости и ускорения точки А соответственно в - и -системах отсчета, V₀ и скорость и ускорение оси вращения К^' -системы в К -системе, радиус-вектор точки А относительно произвольной точки на оси вращения и характеризующий положение точки А относительно этой оси.

Дата добавления: 2013-12-12