Свободные и затухающие колебания

Пружинный маятник

дифференциальное уравнение гармонических колебаний, его решение x = A Sin (ωt + φ₀)

где

Свободные затухающие колебания – колебания, амплитуда которых с течением временем уменьшается из-за потерь энергии реальной колебательной системой.

Свободные колебания – колебания в колебательной системе, без внешнего воздействия.

сила сопротивления,

b - коэффициент сопротивления,

дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

(*)

где S – изменяющаяся при колебаниях физическая величина.

β – коэффициент затухания.

ω₀ – циклическая частота свободных незатухающих колебаний (т.е. при β = 0).

Решение этого уравнения

, (* *)

общее решение ,

где С₁ и С₂ – постоянные коэффициенты, зависящие от условий;

λ₁ и λ₂ – корни характеристического уравнения, получающегося из * подстановкой в него * *

Если β < 0, то корни этого уравнения комплексные

λ_{1, 2} = - β ± β ± iω

где

Общее решение:

или на основании формулы Эйлера

Вводя вместо С₁ и С₂ две новые постоянные А₀ и φ₀

А₀ Sin φ₀ = C₁ + C₂

i(C₁ – C₂) = A₀ Cos φ₀

и окончательно

Постоянные А₀ и φ₀ зависят от начальных условий, т.е. от значений S и в начальный момент времени.

Затухающие колебания, строго говоря, не являются периодическими, т.к. максимальное значение колеблющейся величины S достигаемое в некоторый момент t₁ в последующем никогда не повторяется

период (условный период) затухающих колебаний.

время релаксации (амплитуда колебаний уменьшается в e раз)

δ = логарифмический декремент затухания.

N – число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в e раз

т.к. и то

δ = βT = и

Добротность Q – величина, равная 2π, умноженная на отношение энергии W(t) колебательной системы в момент времени t к убыли этой энергии за один период

W(t) ~ A² →

При малых значениях логарифмического декремента затухания

(δ << 1) ≈ 2δ и

при этом ω ≈ ω₀ →

При β = ω₀ T→ ∞ и процесс становится апериодическим (т.е. колебаний не возникает).

Дата добавления: 2013-12-12