Метод депозитной книжки

Суть метода. Сумма, положенная на депозит, приносит доход в виде процентов. При снятии с депозита некоторой суммы базовая величина, с которой начисляются проценты, уменьшается. Эта ситуация и имеет место в случае с аннуитетом.

Текущая стоимость аннуитета – это величина депозита с общей суммой причитающихся процентов, ежегодно уменьшающаяся на равные суммы.

Эта сумма годового платежа включает в себя начисленные за очередной период проценты, а также некоторую часть основной суммы долга. Таким образом, погашение исходного долга осуществляется постепенно в течение всего срока действия аннуитета.

Структура годового платежа постоянно меняется: в начальные периоды в нем преобладают начисленные за очередной период проценты. С течением времени доля процентных платежей постоянно уменьшается и повышается доля погашаемой части основного долга.

Интерпретация приведенной стоимости аннуитета с помощью метода депозитной книжки.

Пусть получена ссуда в сумме D₁=S на n лет под процентную ставку r. Сложные проценты начисляются на непогашенный остаток.

Определяем величину годового платежа при возврате долга равными суммами в конце каждого года.

Пусть А – годовой платеж.

В конце первого года часть годового платежа I₁=S*r идет на уплату процентов.

Оставшаяся часть H₁=A-S*r – идет на уплату части долга.

Таким образом на начало второго года величина непогашенного остатка:

D₂=S-(A-S*r)=S(1+r)-A=D₁(1+r)-A.

Аналогично остаток долга на начало k-го года связан остатком долга на начало предыдущего года следующим соотношением:

D_k=D_k-1(1+r)-A, (*)

Из этой формулы:

А=D_k-1*r + (D_k-1 – D_k) – годовой платеж.

где D_k-1*r - проценты, начисляемые на текущий долг,

D_k-1-D_k – сумма, идущая на погашение основного долга.

Если D₁=S, D₂=S(1+r)-A, то

Т.к. долг должен быть выплачен через n лет, то D_n-1=0, т.е. справедливо равенство (k=n+1):

Из этого равенства следует:

Следовательно S- приведенная стоимость постоянного аннуитета постнумерандо с членом, равным А, т.е.:

I_k=D_k*r – величина процентов за k-й год.

Умножая обе части (*) на r получим:

D_k*r=D_k-1(1+r)r-A*r,

т.е.I_k=I_k-1(1+r)-A*r (**)

Н_k=A-I_k – погашенная часть долга в k-м платеже.

Согласно (**) H_k=A-I_k-1(1+r)+A*r=(A-I_k-1)(1+r).

Таким образом

Н_k=H_k-1(1+r)

Из последней формулы видно, что суммы, идущие на погашение основного долга увеличиваются.

Дата добавления: 2013-12-12