Тема 5. Начисление процентов и налоги

В некоторых странах облагают налогом и проценты, получаемые при помещении некоторой суммы в рост, что, естественно, уменьшает реальную наращенную сумму.

Пусть на сумму PV в течение времени n начислялись простые проценты в соответствие со ставкой r. Тогда до выплаты налогов проценты составляют величину I=PV*r*n.

Если ставка налога на проценты равна q, то надо будет выплатить государству величину I_q=PV*r*n*q.

Следовательно, наращенная сумма с учетом уплаты налога составит:

FV_q=FV-I_q=PV+PV*n*r-PV*n*r*q=PV(1+nr(1-q))

Т.о. налог на проценты, по существу, уменьшает ставку наращения. Начисление процентов практически происходит не по ставке r, а по ставке r(1-q).

Если на сумму PV за период времени n начислялись простые проценты по годовой учетной ставке d, то при ставке налога на проценты, равной q, необходимо выплатить государству величину

Следовательно, наращенная сумма FV_q послу уплаты налога составит составит:

Т.е. государство как бы учитывает наращенную сумму FV за время n по ставке dq.

Пусть на капитал PV начисляются m раз в год сложные проценты по годовой номинальной ставке r. Величина наращенной за n лет суммы находится по формуле:

где

Предположим, что налог начисляется на все полученные проценты один раз за весь срок и ставка налога равна q. Тогда сумма налога составит:

Q=(FV-PV)q=(PV*cⁿ-PV)q=PV(cⁿ-1)q

После уплаты налога наращенная сумма уменьшится и станет равна величине

FV^/=FV-(FV-PV)q= PVcⁿ-(PVcⁿ –PV)q = PVcⁿ-PVcⁿq+PVq=PV(cⁿ-cⁿq+q)=PV(cⁿ(1-q)+q)

Налог может начисляться за календарный год.

Предположим, что налог за каждый год выплачивается не из капитала PV, на который осуществляется наращение, а из других денежных источников. Т.к. величина начисленных процентов растет, то и величина налога будет увеличиваться.

Налог за первый год составит

Q₁=(FV₁- PV)q=PV(c-1)q

Налог за второй год составит

Q₂=(FV₂-FV₁)q=PV*c(c-1)q=c*Q₁

Налог за третий год составит

Q₃=(FV₃-FV₁)q=PVc²(c-1)q=c*Q₂

За k год величину налога можно найти из равенства Q_k=c*Q_k-1

Если налог за каждый год выплачивается из наращенной суммы, наращенная сумма после уплаты налога составит

За второй год сложные проценты будут начисляться уже на сумму. Следовательно, налог и наращенная сумма с учетом уплаты налога за второй год соответственно составят:

Q₂=(FV₁*c-FV₁)q=PV(c-1)q[c-(c-1)q]=[c-(c-1)q]²

за третий год:

Q₃=(FV₂*c-FV₂)q=PV(c-1)q[c-(c-1)q]²=[c-(c-1)q]Q₂

и т.д.

таким образом, для 2≤k≤n справедливо

Q_k=P(c-1)q[c-(c-1)q]^k-1=[c-(c-1)q]Q_k-1

Дата добавления: 2013-12-12