Общая, межгрупповая и внутригрупповая дисперсии. Правило сложения дисперсий

Предположим, что имеется статистическая совокупность X, численностью n и характеризуется показателями: средним и дисперсией σ. Предположим, что для одного из интересующих нас признаков выполнена группировка данной статистической совокупности. В результате мы получили j групп, каждая из которых представляет относительно однородную совокупность и характеризуется своим средним и дисперсией, которые называются групповой средней и групповой дисперсией.

Таким образом статистическая совокупность состоит из j однородных групп по заданному факторному признаку:

X(n₁),X(n₂),...X(n_j),

где n₁, n₂, …, n_j – соответственно численность в первой, второй, …, j- ой группах;

n₁+n₂+...+n_j = n

Обозначим дисперсии внутри групп σ₁,... σ_j – они называются частными (внутригрупповыми) дисперсиями. Они показывают изменчивость, которая отмечается в каждой выделенной группе при исключенном влиянии фактора, взятого в качестве группировочного признака, поскольку внутри этих групп статистические совокупности однородны относительно этого признака. Изменчивость, имеющая место в каждой группе обусловлена всеми остальными факторами, кроме группировочного. Поэтому, если вычислить среднюю из групповых дисперсий, то она как раз и будет характеризовать изменчивость, обусловленную влиянием всех остальных действующих факторов за исключение того, который принят в качестве группировочного. Она вычисляется как средняя арифметическая взвешенная частных групповых дисперсий с весовыми коэффициентами численностей групп:

Далее проведем сравнение средних величин, вычисленных для каждой групп , т.е групповых средних. Эти средние будут нивелировать действие внутригрупповых признаков, поэтому различие в этих средних будут зависеть очевидно только от фактора, положенного в основание группировок. Имеющееся различие в этих средних покажет на сколько существенно влияние группировочного признака для каждой группы, а вычисленная дисперсия этих средних (отклонение от общей средней) покажет характер и величину этой изменчивости, т.е изменчивости, обусловленной влиянием группировочного признака.

Эта дисперсия называется межгрупповой дисперсией, обозначается и вычисляется как средневзвешенный квадрат отклонений частный средних в группах от общей средней, вычисленной для всей совокупности:

Имеет место правило сложения дисперсий – сумма групповой дисперсии и межгрупповой дисперсии равна общей дисперсии совокупности, т.е.

Таким образом, общая дисперсия равна взвешенной сумме групповых дисперсий и взвешенной сумме квадратов отклонений групповых средних от общей средней. Первое слагаемое выражает величину дисперсии внутри частей совокупности, а второе - различие между этими частями.

Пример.

Каждая из перечисленных дисперсий имеет вполне определенный смысл: общая дисперсия показывает величину вариации зарплаты, которая вызвана всеми факторами, влияющими на размер зарплаты (число обслуживаемых станков, различия в опыте, квалификация, индивидуальные способности рабочих и т.д.) Если выполнить группировку по числу обслуживающих станков, то внутри выделенных групп этот фактор, который влияет на зарплату, не будет влияющим и, на поверхность выйдут прочие из перечисленных факторов. Групповые дисперсии показывают величину вариации, которая вызвана многими причинами кроме различий в числе обсуживаемых станков, так как внутри группы все рабочие обслуживают одинаковое количество станков. Средняя из групповых дисперсий вызвана не различиями в числе обслуживаемых станков по всему числу рабочих, а другими из перечисленных факторов.

Чем больше межгрупповая дисперсия по сравнению внутригрупповой , тем больше влияние группировочного признака на величину общей изменчивости исследуемого показателя.

Можно вычислить процентное влияние (или долю) этого признака среди всех остальных действующих факторов, если их суммарное влияние на изменчивость изучаемого статистического показателя (включая и группировочный фактор), принять за 100% или 1.

Если мы разделим дисперсию групповых средних на общую дисперсию, то получим показатель, который называется коэффициентом детерминации (), показывающего какая доля всей вариации признака обусловлена признаком, положенным в основание группировки.

или

Корень квадратный из коэффициента детерминации (не выраженного в процентах) дает корреляционное отношение (эмпирическое), показывающее тесноту связи между признаком группировочным (факторным) и результативным.

Чем ближе к 1, тем теснее связь факторного и результативного признаков и наоборот, чем ближе к 0, тем слабее связь. Значением между нулем и единицей и определяется степень тесноты изучаемых признаков.

Если группировать рабочих внутри каждой группы по другому признаку, оказывающему влияние на заработок, например по уровню квалификации, то можно из внутригрупповых дисперсий выделить дисперсию, показывающую величину вариации, вызванной вторым группировочным признаком и дисперсию остаточную, характеризующую вариацию за счет всех прочих причин, кроме двух группировочных признаков. Теоретически такую комбинационную группировку можно продолжать до тех пор, пока не будут исчерпаны все причины, воздействующие на исследуемый признак. Общая дисперсия в этом случае будет представлена как сумма дисперсий, характеризующих вариацию, вызванную каждой из причин:

где: - дисперсии факторов 1,2, … k, в предположении, что других факторов, влияющих на изменчивость статистической совокупности больше нет или их влияние ничтожно мало.

Дата добавления: 2013-12-11