Математика

Схема исследования функций

Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1. Область существования функции.
2. Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.
3. Точки разрыва. (Если они имеются).
4. Интервалы возрастания и убывания.
5. Точки максимума и минимума.
6. Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.
7. Области выпуклости и вогнутости.
8. Точки перегиба.(Если они имеются).
9. Асимптоты.(Если они имеются).
10. Построение графика.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1.

Найдем вторую производную функции

.

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках. Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

y¢	+	‑	‑	‑	‑	+
	↑	↓	↓	↓	↓	↑
y¢¢	‑	‑	+	‑	+	+
	∩	∩	U	∩	U	U

Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3/2 и -3/2.

Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

Построим график функции:

Специальность «Информатика»

Дата добавления: 2013-12-11