Где определяется формулой (3.30)

Закон сохранения энергии

В этой сумме имеется N(N-1) слагаемых (каждая из N частиц взаимодействует с N-1 частицей).

Взаимная энергия системы частиц зависит только от их взаимного расположения (от конфигурации системы). Если при движении частиц конфигурация системы не изменяется, то потенциальная энергия остается неизменной и внутренние силы работы не совершают.

Потенциальной энергией обладают не только системы обособленных взаимодействующих частиц, но и сплошные деформированные тела (например, растянутая или сжатая пружина). В этом случае потенциальная энергия зависит от взаимного расположения отдельных частей тела (например, от расстояния между витками пружины). Как для растяжения, так и для сжатия пружины на величину х нужно совершить работу А=кх²/2. Эта работа идет на приращение потенциальной энергии пружины. Следовательно, зависимость потенциальной энергии пружины от удлинения х имеет вид

Е_р= (6.8)

(мы предположили потенциальную энергию недеформированной пружины равной нулю).

Сведем воедино результаты, полученные в предыдущих параграфах. Для этого рассмотрим систему, состоящую из N взаимодействующих друг с другом частиц, находящихся под воздействием внешних как консервативных, так и неконсервативных сил. Силы взаимодействия между частицами предполагаются консервативными. Определим работу, совершаемую над частицами при перемещении системы из одного места в другое, сопровождающееся изменением конфигурации системы.

Работа внешних консервативных сил может быть представлена как убыль потенциальной энергии системы во внешнем силовом поле:

А_{12,внеш,консерв}=

Работа внутренних сил равна убыли взаимной потенциальной энергии частиц:

А_{12,внутр}=

Где определяется формулой (6.7).

Работу неконсервативных сил обозначим посредством .

Согласно формуле (3.17) суммарная работа всех сил затрачивается на приращение кинетической энергии системы Е_к, которая равна сумме кинетических энергий частиц:

Е_к=. (6.9)

Следовательно,

()+()+=Е_к2-Е_к1.

Сгруппируем члены этого соотношения следующим образом:

.

Сумма кинетической и потенциальной энергий представляет собой полную механическую энергию системы Е:

Е=Е_к+ (6.10)

Таким образом, мы установили, что работа неконсервативных сил равна приращению полной энергии системы:

Е₂-Е₁= (6.11)

Из (6.11) следует, что в случае, когда неконсервативные силы отсутствуют, полная механическая энергия системы остается постоянной:

Е=Е_к+=const. (6.12)

Мы пришли к закону сохранения механической энергии, который гласит, что полная механическая энергия системы материальных точек, находящихся под действием только консервативных сил, остается постоянной.

Если система замкнута и силы взаимодействия между частицами консервативны, то полная энергия содержит лишь два слагаемых: Е=Е_к+(- взаимная потенциальная энергия частиц). В этом случае закон сохранения механической энергии заключается в утверждении, что полная механическая энергия замкнутой системы материальных точек, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной.

В основе закона сохранения энергии лежит однородность времени, т.е. равнозначность всех моментов времени, заключающееся в том, что замена момента времени t₁ моментом времени t₂ без изменения значений координат и скоростей тел не изменяет механических свойств системы. Поведение системы, начиная с времени t₂ будет таким же, каким оно было бы, начиная с момента t₁.

При наличии неконсервативных сил полная механическая энергия системы не сохраняется. Неконсервативными, в частности, являются силы трения и силы сопротивления среды. Работа этих сил, как правило, отрицательна. Поэтому при наличии сил трения и сил сопротивления среды полная механическая энергия системы уменьшается, переходя во внутреннюю энергию тел, что приводит к их нагреванию. Такой процесс называется диссипацией энергии (латинское слово «диссипация» означает «рассеяние»). Силы, приводящие к диссипации энергии, называются диссипативными. Отметим, что неконсервативные силы не обязательно являются диссипативными.

Закон сохранения энергии имеет всеобщий характер. Он применим ко всем без исключения процессам, происходящим в природе. Полное количество энергии в изолированной системе тел и полей всегда остается постоянным; энергия лишь может переходить из одной формы в другую. Этот факт является проявлением неуничтожимости материи и ее движения.

Соударения тел

При соударении тела в большей либо меньшей мере деформируются. При этом кинетическая энергия тел частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии приводит к нагреванию тел.

Рассмотрим два предельных вида соударения – абсолютно неупругий и абсолютно упругий удар. Абсолютно неупругим называется удар, при котором потенциальная энергия упругой деформации не возникает; кинетическая энергия тел частично или полностью превращается во внутреннюю энергию; после удара тела движутся с одинаковой скоростью (т.е. как одно тело) либо покоятся. При таком ударе выполняется только закон сохранения импульса, закон же сохранения механической энергии не соблюдается – механическая энергия частично или полностью переходит во внутреннюю.

Абсолютно упругим называется такой удар, при котором полная механическая энергия тел сохраняется. Сначала кинетическая энергия частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую и тела разлетаются со скоростями, определяемыми двумя условиями – сохранением суммарной энергии и суммарного импульса тел.

Мы ограничимся рассмотрением центрального удара двух однородных шаров. Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры (рис.6.2). Из соображений симметрии ясно, что после удара шары будут двигаться вдоль той же прямой. Будем предполагать, что шары движутся поступательно (т.е. не вращаясь). Будем также предполагать, что шары образуют замкнутую систему либо что внешние силы, приложенные к шарам, уравновешивают друг друга.

Обозначим массы шаров m₁ и m₂, скорости шаров до удара v ₁ и v ₂, скорости после удара u ₁ и u ₂.

Начнем с абсолютно неупругого удара. Закон сохранения импульса требует, чтобы суммарный импульс шаров после удара был таким же, как до удара. Поэтому

m₁ v ₁+m₂ v ₂=(m₁m₂) u

где u – одинаковая скорость шаров после удара. Отсюда

u = (6.13)

Для числовых расчетов нужно спроектировать все векторы на ось х (рис. 6.2).

Теперь рассмотрим абсолютно упругий удар. Напишем уравнение сохранения импульса и энергии:

m₁ v ₁+m₂ v ₂=m₁ u ₁+m₂ u ₂,

.

Преобразуем эти уравнения следующим образом:

m₁(v ₁- v ₂)=m₂(u ₂- v ₂) (6.14)

[m₁(v ₁- u ₁)](v ₁+ u ₁)=[m₂(u ₂- v ₂)](u ₂+ v ₂) (6.15)

Все векторы, входящие в уравнения (6.14) и (6.15), коллинеарны. Для коллинеарных векторов из А = В и АС = ВD следует, что С = D. Поэтому можно написать, что

v ₁+ u ₁= u ₂+ v ₂ (6.16)

Умножив (3.56) на m₂ и вычтя результат из (6.14), а затем умножив (6.16) на m₁ и сложив результат с (6.14), найдем скорости шаров после удара:

u ₁= u ₂= (6.17)

Заметим, что выражение для u ₂ отличается от выражения для u ₁ только перестановкой индексов 1 и 2. Это естественно, поскольку шары в процессе соударения совершенно равноправны и безразлично, какой из них считать первым, а какой вторым.

Чтобы осуществить расчеты, нужно спроектировать все векторы на ось х. Сделаем это, например, для случая а на рис. 6.2. В этом случае проекция вектора v ₁ равна модулю вектора, взятому со знаком плюс: v_1х=v₁, а проекция вектора v ₂ – модулю, взятому со знаком минус: v_2x=-v₂. Поэтому

u₁= u₂= (6.18)

Пусть m₁=1 кг, m₂=2 кг, v₁=1 м/с. v₂=3 м/с. Подстановка этих чисел в формулы (6.18) дает значения: u_1х=-(13/3) м/с, u_2х=-(1/3) м/с. Обе проекции оказались отрицательными. Это означает, что после соударения оба шара движутся влево. Следовательно, первый шар изменил направление движения на обратное, второй же шар после удара движется в первоначальном направлении, изменился лишь модуль его скорости (с 3 до (1/3) м/с).

Особый интерес представляет случай, когда массы шаров одинаковы: m₁=m₂. При этом условии из (6.18) получается, что

u₁=v₂, u₂=v₁.

Следовательно, шары равной массы при центральном ударе обмениваются скоростями. В частности, если один из шаров до соударения покоился, то после удара он движется с такой же скоростью, какую имел первоначально другой шар, который после удара оказывается неподвижным. При центральном абсолютно упругом ударе шар полностью передает свою скорость неподвижному шару той же массы.

Дата добавления: 2013-12-11