Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии





Доверь свою работу кандидату наук!
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

Дано: случайная величина x распределена по нормальному закону, для которого известна дисперсия s 2.

Делается выборка объема n. Вычисляем . Покажем, что M = a и D=.

Выборка x1, x2, ..., xn рассматривается как совокупность n независимых случайных величин, распределенных так же как x, следовательно,

Mx1 = Mx2 = ... = Mxn = а Dx1 = Dx2 = ... = Dxn = σ2.

также случайная величина и распределена по нормальному закону в силу теоремы — сумма нормально распределённых случайных величин распределена по нормальному закону.

М() = M (+ + … + ) = M () + M () + … + M () = M () = . n . a = a

D= D () = = = . n . σ2 = .

Итак, N (a; ) .

Подберем по заданной надежности g число δ > 0 так, чтобы выполнялось условие:

P( |a| < δ ) = g. (1)

Так как случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a и дисперсией s 2/n, получаем:

P(|a| < δ) =P(a – δ < < a + δ) =

= + Ф+ Ф= 2Ф

2Ф= g, Ф.

Обозначим = . Функция Ф(x) непрерывна и возрастает на интервале [ 0; +∞) от 0 до 0,5, поэтому для любого числа g Î[0;1] существует единственное число такое, что F()= g / 2. Это число называют квантилем нормального распределения, и в конкретных примерах оно подбирается по таблицам нормального распределения функции Лапласа.

Теперь из равенства = определим значение : = . Окончательный результат получим, представив формулу (1) в виде:

P(< a < ) = g.

Другими словами, с надежностью g доверительный интервал

(;)

покрывает неизвестное значение параметр a = Mx генеральной совокупности. Можно сказать иначе: точечная оценка даёт значение параметра Mx с точностью = и надежностью g.

Задача 1. Пусть имеется генеральная совокупность, распределенная по нормальному закону с дисперсией s 2, равной 6,25. Произведена выборка объема n = 27 и получено средневыборочное значение = 12. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание исследуемой характеристики генеральной совокупности с надежностью g =0,99.



Решение. Сначала по таблице для функции Лапласа найдем значение из уравнения F() = g / 2, F() = 0,495. По полученному значению = 2,58 определим точность оценки = 2,5´2,58 / » 1,24. Отсюда получаем искомый доверительный интервал:

θ 1 = = 12 1,24 = 10,76

θ2 = = 12 1,24 = 13,24, (10,76; 13,24).

 

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой




Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 762; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.026 сек.