Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии

Пусть x – случайная величина, распределенная по нормальному закону с неизвестным математическим ожиданием a . Произведем выборку объема n. Вычислим среднюю выборочную и исправленную выборочную дисперсию s² .

Случайная величина t = (a)/ s распределена по закону Стьюдента с (n – 1) степенями свободы.

Задача заключается в том, чтобы по заданной надежности g и по числу степеней свободы (n – 1) найти такое число t_g,n , чтобы выполнялось равенство

P(|(– a)/ s| < t_g,n) = g (2)

или эквивалентное равенство

P(– t_g,n s / < a < + t_g,n s / ) = g. (3)

Здесь в скобках написано условие того, что значение неизвестного параметра a принадлежит некоторому промежутку, который и является доверительным интервалом. Его границы зависят от надежности g , а также от параметров выборки Его границы зависят от надежности g и параметров выборки и s.

Чтобы определить значение t_g по величине g, равенство (2) преобразуем к виду: P(|(– a)/ s| ≥ t_g,n) = 1 – g . Теперь по таблице для случайной величины t, распределенной по закону Стьюдента, по вероятности (1 – g) и числу степеней свободы (n – 1) находим t_g,n . Формула (3) дает ответ на поставленную задачу.

Задача 2. На контрольных испытаниях 20-и электроламп средняя продолжительность их работы оказалась равной 2000 часов при среднем квадратическом отклонении, рассчитанном как корень квадратный из исправленной выборочной дисперсии, равном 11-и часам. Известно, что продолжительность работы лампы является нормально распределенной случайной величиной. Определить с надежностью 0,95 доверительный интервал для математического ожидания этой случайной величины.

Решение. Величина (1 – g)в данном случае равна 0,05. По таблице распределения Стьюдента при числе степеней свободы, равном 19, находим: t_g,n = 2,093. Вычислим теперь точность оценки: = 2,093´11 / = 5,14. Отсюда получаем искомый доверительный интервал (1994,9; 2005,1).