К началу К следующей лекции

Таблица 3.1

2.	9.
2.	10.
3.	12.
4.	12.
5.	13.
6.	14.
7.	15.
8.	16.

 

 

В силу определения (3.2) отыскание неопределенного интеграла сводится к нахождению одной из первообразных подынтегральной функции f(x). Поскольку , то интегрирование является операцией обратной дифференцированию.

Чтобы проверить правильно ли выполнено интегрирование необходимо продифференцировать результаты и получить подынтегральную функцию.

Согласно (3.2) имеем:

а)

б)

в)

г) (3.3)

д) . (3.4)

Справедливость свойств интегралов г) и д) и следующих равенств проверяется дифференцированием обеих частей:

(3.5)

(3.6)

(3.7)

Пример 1. Найти

Здесь использовали формулу (3.7) и табличный интеграл 4 (см. табл. 3.1).

Пример 2. Найти

 

3.3. Основные методы интегрирования

 

1. Метод разложения

Используя свойства подынтегральной функции, преобразуем ее к виду

f (x) = af₁(x) + bf₂(x)

и представим искомый интеграл на основании формул (3.3) и (3.4) в виде суммы более простых, желательно табличных интегралов:

Пример 3. Найти

Подынтегральная функция уже представлена в виде суммы трех слагаемых, поэтому используя формулы (3.3) и (3.4), получим:

Пример 4. Найти

Представим подынтегральную функцию в виде суммы слагаемых:

Тогда

Искомый интеграл удалось разложить на сумму двух табличных интегралов.

Пример 5. Найти

Так как Тогда

Пример 6. Найти

Для преобразования подынтегральной функции f(x) воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени:

Тогда

2. Метод замены переменной

Этот метод позволяет заменить переменную в неопределенном интеграле с помощью подстановок двух видов.

Первый вариант подстановки. Если x = j(t) непрерывна вместе со своей производной, то справедливо равенство

(3.8)

называемое формулой замены переменной. Как и всякое интегральное равенство, оно проверяется дифференцированием обеих частей.

Функция x = j(t) выбирается из соображений упрощения искомого интеграла. После интегрирования необходимо вернуться к старой переменной подстановкой

Пример 7. Найти

Воспользуемся методом замены переменной, чтобы освободиться от иррациональности:

Найдя интеграл от новой переменной t, необходимо затем вернуться к старой переменной х.

Второй вариант подстановки. В большинстве случаев целесообразно за новую переменную t принять некоторую функцию от х, т.е. Формула замены переменной в этом случае имеет вид:

(3.8¢)

Пример 8. Найти

Чтобы произвести замену переменной, воспользуемся формулой (3.8¢):

Подстановка выбрана удачно, так как с ее помощью искомый интеграл привели к табличному (см. табл. 3.2. п. 1).

Пример 9. Найти

При выборе удачной подстановки, сводящей искомый интеграл к табличному, полезно обратить внимание на следующие соотношения, позволяющие подвести множитель под знак дифференциала.

Например, учитывая, что , найдем:

=

В таком случае можно и не вводить явное обозначение новой переменной. Полезной для нахождения многих интегралов является приводимая ниже табл. 3.2.

Таблица 3.2

2.	7.
2.	8.
3.	9.
4.	10.
5.	12.
6.	12.

 

Так, в примере 9, учитывая, что искомый интеграл примет вид:

Здесь х⁴ приняли за новую переменную без обозначения ее буквой t. Необходимость возвращаться к старой переменной отпадает.

Пример 10. Найти

Заметим, что Теперь выделим в числителе производную знаменателя:

Таким образом, можно принять за новую переменную.

Тогда

Пример 11. Найти

Заметим, что и sin² x можно принять за новую переменную.

Тогда:

При решении дополнительно воспользовались формулой (3.6).

Замечание. В большинстве случаев при отыскании неопределенных интегралов можно применять сочетание методов разложения и подстановки (замены переменной).

Пример 12. Найти

Сначала воспользуемся методом замены переменной:

Для отыскания интеграла J₁ используем теперь метод разложения:

Окончательно получим:

, где С = 2С_2.

Пример 13. Найти

Воспользуемся результатом примера 6:

Окончательно получим:

где С = 4С_2.

Пример 14. .

Пример 15. Найти .

Пример 16. Найти

3. Метод интегрирования по частям

Интегрируя выражение получим: или

Эта формула интегрирования по частям. Здесь U(x) и V(x) – дифференцируемые функции х.

Выражение f(x)dx необходимо так разбить на сомножители U и dV, чтобы нахождение V и интеграла было проще, чем вычисление исходного интеграла.

В случае интегралов вида

берем или или ,

а для интегралов

берем или или или , а

Пример 17. Найти

Применим метод интегрирования по частям. U и dV берем согласно рекомендациям:

Пример 18. Найти

Найдем интеграл J₁ методом замены переменной. Учитывая, что примем за новую переменную.

Окончательно получим:

, где С = -С_2.

Пример 19. Найти

В этом случае за U следует обозначить lnx.

В некоторых случаях при интегрировании по частям можно и не вводить явно U и V.

Например,

Пример 20. Найти

В этом случае формула (2.9) интегрирования по частям применяется дважды.

Пример 21. Найти

Таким образом, получили уравнение относительно неизвестного интеграла J. Искомый интеграл найдем, решив это уравнение: откуда получим:

где

Аналогично вычисляются: .

Анализ этих примеров показывает, что интегрирование по частям состоит из следующих шагов:

1) разбиение f(x)dx на U и dV;

2) нахождение V и dU;

3) применение формулы (2.9);

4) нахождение

При необходимости интегрирование по частям выполняется неоднократно.

Например, для оно выполняется три раза. Этот пример решить самостоятельно.

 

3.4. Интегрирование рациональных функций

 

Рациональная дробь называется правильной, если m < n, т.е. степень n многочлена Q_n(x) больше, чем степень m многочлена P_m(x). При делим на Q_n(x) по правилу деления многочленов и представляем рациональную дробь как сумму многочлена и правильной дроби.

Дроби вида называются простейшими. Здесь

Простейшие дроби интегрируются следующим образом:

Пример 22.

Выделим в числителе производную знаменателя:

Тогда получим:

Правильные рациональные дроби интегрируются разложением на сумму простейших дробей.

Вид разложения правильной дроби на простейшие зависит от типов множителей, входящих в разложение многочлена Q(x) на множители, а именно:

1) каждому линейному множителю х-а отвечает дробь

2) каждому линейному множителю х-а кратности k отвечает сумма дробей:

+

3) каждому квадратичному множителю отвечает слагаемое:

4) каждому квадратичному множителю кратности k отвечает сумма дробей:

Пример 23. Найти

Разложим многочлен на линейные и квадратичные множители:

Пользуясь рекомендациями, разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей:

(3.10)

Определим неизвестные коэффициенты А, В и С, используя так называемый метод неопределенных коэффициентов. Для этого приводим дроби в равенстве (3.10) к общему знаменателю. Затем, чтобы освободиться от знаменателей, умножим обе части равенства на

В результате получим:

(3.11)

Два многочлена тождественно равны в случае, если коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества равны.

В нашем случае:

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему линейных уравнений:

х2	А	+	В	+	С	=
х1	3А	+	2В	+	С	=
х0	2А					=	-3.

Решив эту систему, найдем: , В = 2, .

Тогда разложение подынтегральной дроби на простейшие примет вид:

Таким образом,

Замечание 2. В случае простых корней знаменателя дроби неизвестные коэффициенты находятся особенно легко – подстановкой в тождество (2.11) в качестве частных значений многочленов этих корней: х₁ = 0, х₂ = 1 и х₃ = 2:

х1 = 0	-3 = 2А,	А =
х2 = 1	-2 = -В,	В = 2
х3 = 2	1 = 2С,	С =

Замечание 2. Возможно и сочетание обоих методов (метода сравнения коэффициентов и метода частных значений).

Пример 24. Найти

Подынтегральная функция может быть разложена на сумму простейших дробей:

Отсюда имеем:

Подставим в тождество сначала частные значения. Так х = -1 является простым корнем знаменателя:

х = -1	1 = А
х = 0	0 = А + С + Е, откуда С + Е = -2.

Теперь приравняем в тождестве коэффициенты при одинаковых степенях х:

х4	0 = А + D, откуда D = -1
х3	0 = 2А + 2D + Е, откуда E = 0, тогда С = -1
х2	1 + 3А + 2D + 2E + B, откуда В = 0.

Следовательно,

Тогда:

Найдем сначала интеграл

Для отыскания интеграла J₂ используем рекуррентную формулу:

Тогда:

Здесь выполнена подстановка где

Окончательно получим:

где .

Приведем схему разложения правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей:

1) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители;

2) разложить подынтегральную дробь на сумму простейших дробей, но с неопределенными коэффициентами (тип простейшей дроби зависит от множителя, входящего в знаменатель);

3) для отыскания неопределенных коэффициентов привести полученное равенство к общему знаменателю, затем освободиться от знаменателей;

4) составить систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов и решить ее;

5) найденные коэффициенты подставить в разложение подынтегральной дроби на сумму простейших дробей.

Пример 25. Найти

Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, и она может быть представлена в виде суммы простейших дробей:

Отсюда

Неизвестные коэффициенты А, В, С найдем из системы:

х3	0 = В + С
х2	0 = А + В + D + 2C
x1	1 = 3B + C +2D
x0	7 = 3A + 3В + 3D.

Решив эту систему, найдем

Искомое разложение примет вид:

Таким образом, +

В некоторых случаях удается проинтегрировать рациональную дробь, не разлагая ее на сумму простейших дробей, а более простым способом.

Например, для подынтегральную функцию можно разложить на сумму простейших дробей. Так как то имеем разложение:

Такое разложение нецелесообразно, так как для нахождения неизвестных коэффициентов придется составить и решить систему 7-ми линейных уравнений с 7-ю неизвестными, что приведет к громоздким вычислениям.

Разложить подынтегральную функцию на интегрируемые слагаемые можно и другим способом:

Тогда искомый интеграл примет вид:

В последнем интеграле, учитывая, что

за новую переменную приняли 1 + х².

3.5. Интегрирование иррациональных функций

 

1. Интегралы вида где R – рациональная функция своих аргументов, приводятся к интегралам от рациональных дробей подстановкой где k – наименьшее общее кратное чисел

2. Интегралы вида

где R – рациональная функция своих аргументов, приводятся к интегралам от рациональных дробей подстановкой где k – наименьшее общее кратное чисел

3. С помощью тригонометрических подстановок можно находить интегралы:

находится подстановкой

находится подстановкой

находится подстановкой

Пример 26. Найти

Здесь поэтому k = 4. Искомый интеграл находим с помощью подстановки

Тогда:

 

3.6. Интегрирование тригонометрических функций

 

Интегралы вида с помощью универсальной тригонометрической подстановки сводятся к интегралам от рациональных функций.

Пусть . Тогда имеем

Здесь - рациональная функция от sinx и cosx.

Пример 27. Найти

Применим универсальную тригонометрическую подстановку

Тогда получим:

и

Искомый интеграл примет вид:

Подстановка часто приводит к сложным выражениям, и поэтому в зависимости от вида функции применяются другие подстановки:

1)

2)

3)

4) если sinx и cosx входят только в четных степенях, по применяется подстановка

При этом

5) где m и n – целые числа.

Если и оба числа четные, то применяются тригонометрические формулы понижения степени, упрощающие исходный интеграл:

Если, по крайней мере, одно из чисел нечетное, то имеем случай 1) или 2).

Если оба числа четные и хотя бы одно из них отрицательное, то следует делать замену

Пример 28. Найти .

Пример 29. Найти

В этом примере n = -1 – нечетное. Поэтому используем подстановку Тогда

6) интегралы , , находятся с помощью преобразования произведения в сумму или разность:

Пример 30. Найти

Преобразуем произведение тригонометрических функций в сумму, используя последнюю формулу:

Пример 31. Найти

Разложим подынтегральную функцию на сумму интегрируемых слагаемых:

Тогда получим:

Здесь использовали в первом интеграле, что

При отыскании второго интеграла использовали метод интегрирования по частям: