Интегрирование по частям

Этот метод основан на использовании формулы

, (1)

которая называется формулой интегрирования по частям. В этой формуле и - любые две дифференцируемые функции, для которых существуют и и .

Докажем эту формулу. Опираясь на формулу для дифференциала произведения двух функций

и интегрируя обе части этого равенства, получим:

Применяя теперь свойство 3 неопределенных интегралов к интегралу слева, получим:

откуда

В правой части даст, после своего вычисления, некоторую функцию плюс неопределенную константу. Вместе с уже имеющейся там неопределенной константой С этих констант в правой части окажется две. Поэтому одну из них (а именно, константу С) можно отбросить, так как эти две константы все равно объединятся в одну. В итоге как раз и получим формулу (1)

Примечание. При вычислении по формуле интегрирования по частям (1) нам придется вычислить два неопределенных интеграла (выполнить работу, состоящую из двух частей). Сначала по имеющемуся дифференциалу функции нужно будет найти саму функцию . Для этого используем формулу (8):

если , то (2)

Таким образом, получаем: То есть, получаем не одну, а множество функций . Но нам нужна лишь одна из них (любая). Проще всего получить ее, отбросив в (2) константу С:

== F(x) (3)

По этой схеме находится функция . Затем, в соответствии с формулой (1), нужно выполнить вторую часть работы - вычислить интеграл .

Формулу (1) для вычисления по частям есть смысл применять, если можно вычислить оба интеграла: и , и.

Пример 8. Вычислить .

Решение.

=

Пример 9. Вычислить .

Решение.

= =

====

==.

В примере 9 применены и подстановка, и интегрирование по частям.

В заключение укажем следующее. Проблема вычисления неопределенных интегралов – гораздо более сложная, чем проблема вычисления производных. Среди неопределенных интегралов и много неберущихся. Однако доказана теорема: если функция непрерывна на некотором промежутке оси ох (например, на отрезке оси ох), то на этом промежутке существует и , то есть существует множество первообразных F(x)+C для подынтегральной функции f(x). Но только не всегда эти первообразные можно выразить через элементарные функции. В этих случаях (случаях неберущихся интегралов) применяют приближенное интегрирование. О приближенном интегрировании мы поговорим позже.

Дата добавления: 2013-12-13