Ограниченность сходящихся последовательностей

Определение 1 Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если множество ее значений ограничено сверху (снизу).

Последовательность ограниченная сверху и снизу называется ограниченной.

Другими словами, числовая последовательность {x_n} ограничена, если существуюттакие числа , чтодля всех номеров n выполняется неравенство . Это условие равносильно тому, что существует такое число c>0, что для всех номеров n имеет место неравенство .

Последовательность, не являющаяся ограниченной сверху (снизу), называется неограниченной сверху (снизу), а последовательность не являющаяся ограниченной, называетсянеограниченной.

Теорема 1 Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Д-во. Пусть последовательность имеет конечный предел . Тогда, согласно опеделению предела последовательности, взяв , получим, что, начиная с некоторогономера n₀, для всех n>n₀ будет выполняться неравенство . Обозначимтеперь через d наибольшее из чисел . Тогда для всех будет иметь место неравенство . Этои означает ограниченность последовательности {x_n}. ■.

Дата добавления: 2013-12-13