Лекция 60. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева

Закон больших чисел является центральным законом теории вероятностей в силу того, что он формулирует принципиальную связь между закономерностью и случайностью. А именно, он утверждает, что большое число случайностей ведет к закономерности, что позволяет прогнозировать ход событий. В наиболее общей форме он выражается теоремой Чебышева:

Пусть (Χ₁; X₂; … X_n; …) независимые случайные величины (их, предполагается, бесконечное число). И пусть их дисперсии равномерно ограничены (то есть дисперсии всех этих случайных величин не превосходят некоторой константы С):

(1)

Тогда как бы ни было мало положительное число , выполняется предельное вероятностное соотношение:

(2)

если число случайных величин достаточно велико. Или, что одно и то же, вероятность

(3)

Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривать достаточное большое число n независимых случайных величин (Χ₁; X₂; … X_n),то почти достоверным (с вероятностью, близкой к единице) можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

Доказательство. Введем в рассмотрение новую случайную величину - среднее арифметическое случайных величин (Χ₁; X₂; … X_n):

(4)

Пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, для получим:

; (5)

Учитывая условия (1), устанавливаем, что

(6)

Таким образом, при дисперсия . То есть при разброс значений случайной величины вокруг её математического ожидания неограниченно уменьшается. А это значит, что при величина, то есть . Или, если сказать точнее, к нулю стремится вероятность того, что случайная величина будет хоть как-то отклоняться от своего математического ожидания – константы . А именно, при любом сколь угодно малом положительном числе

(7)

Итак, согласно доказанной теореме Чебышева, среднее арифметическое большого числа независимых случайных величин (Χ₁; X₂; … X_n), являясь случайной величиной, фактически утрачивает характер случайности, становясь, по сути, неизменной константой . Эта константа равна среднему арифметическому математических ожиданий величин (Χ₁; X₂; … X_n). В этом и состоит закон больших чисел.

Можно привести другое доказательство теоремы Чебышева. Для этого воспользуемся неравенством Чебышева. Оно справедливо и для дискретных и для непрерывных случайных величин и имеет ценность само по себе. Неравенство Чебышева позволяет оценить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания не превышает по абсолютной величине положительного числа . Приведем доказательство неравенства Чебышева для дискретных случайных величин.

Неравенство Чебышева: Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа , не меньше, чем :

.

Доказательство: Так как события, состоящие в осуществлении неравенств и , противоположны, то сумма их вероятностей равна 1, т.е. . Отсюда интересующая нас вероятность . (*)

Найдем . Для этого найдем дисперсию случайной величины Х.

Все слагаемые этой суммы неотрицательны. Отбросим те слагаемые, у которых (для оставшихся слагаемых), вследствие чего сумма может только уменьшится. Условимся считать для определенности, что отброшено k первых слагаемых (будем считать, что в таблице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,

Поскольку обе части неравенства положительны, поэтому, возведя их в квадрат, получим равносильное неравенство. Воспользуемся этим замечанием, заменяя в оставшейся сумме каждый из множителей числом (при этом неравенство может лишь усилиться), получим. (**)

По теореме сложения, сумма вероятностей есть вероятность того, что Х примет одно, безразлично какое, из значений , а при любом из них отклонение удовлетворяет неравенству . Отсюда следует, что сумма выражает вероятность . Это позволяет переписать неравенство (**) так: . (***).

Подставим (***) в (*) и получим , что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы Чебышева 2:

Введем в рассмотрение новую случайную величину - среднее арифметическое случайных величин (Χ₁; X₂; … X_n):

Пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, для получим:

; . (*)

Применяя к величине неравенство Чебышева, имеем.

Учитывая соотношение (*),

По условию , значит . (***) Подставляя правую часть (***) в неравенство (**) имеем

.

Отсюда, переходя к пределу при , получим

.

Поскольку вероятность не может превышать единицу, окончательно мы получаем:

Что нам и требовалось доказать.

Остановимся на одном важном частном случае теоремы Чебышева. А именно, рассмотрим случай, когда независимые случайные величины (Χ₁; X₂; … X_n) имеют одинаковые законы распределения, а, следовательно, и одинаковые числовые характеристики:

(8)

Тогда для случайной величины , согласно (5), имеем:

(9)

Предельное вероятностное соотношение (7) в этом случае примет вид:

(10)

Вывод, следующий из (10), имеет большое значение для борьбы со случайными ошибками при производстве различного рода измерений.

Пусть, например, требуется измерить некоторую величину а. Произведем не одно, а несколько (n) независимых повторных измерений значения этой величины. Любым измерениям присуща случайная ошибка, связанная с несовершенством измерительного прибора, всевозможными случайными помехами измерению, и т.д. Поэтому результаты (Χ₁; X₂; … X_n) отдельных последовательных измерений искомого значения а, вообще говоря, давать не будут - они будут случайными величинами. Причем величинами, имеющими одинаковые распределения, ибо измерения производятся повторно, то есть при неизменных внешних условиях. Тогда для величины - среднего арифметического из результатов всех n измерений - будет выполняться предельное вероятностное соотношение (10). А значит, это среднее арифметическое при утрачивает характер случайности, превращаясь в а – истинное значение измеряемой величины. Об этом, кстати, свидетельствуют и формулы (9), согласно которым:

(11)

То есть проведя достаточно большоечисло повторных измерений искомой величины а, в каждом из которых возможна случайная ошибка измерения, и находя затем среднее арифметическое результатов этих измерений, мы по формуле

а (12)

можем получить значение а практически без случайной ошибки.

Этот вывод - следствие закона больших чисел. В данном случае этот закон проявляется в том, что при суммировании результатов измерений в (4) случайные ошибки отдельных измерений, встречающиеся в принципе одинаково часто как со знаком плюс, так и со знаком минус, в целом будут взаимно уничтожаться. А оставшаяся ошибка еще разделится на п, то есть еще уменьшится в п раз. Так что при больших значениях n величина будет практически точно равна измеряемой величине а. Этим выводом, естественно, широко пользуются на практике.

Примечание. В величине взаимно уничтожаются лишь случайные ошибки измерений, то есть ошибки, связанные с действием случайных факторов (помех). Но систематические (постоянно действующие) ошибки, то есть ошибки, присущие каждому измерению, естественно, остаются и в . Например, сбитая (не отрегулированная) в приборе стрелка вызывает постоянную (систематическую) ошибку в каждом измерении, а, значит вызывает её и в средней арифметической из результатов этих измерений. Систематические ошибки надо исключать еще до производства измерений и не допускать в процессе измерений.

Потом, если α – цена деления измерительного прибора, то все повторные измерения производятся с точностью до α. Но тогда, естественно, и среднее арифметическое из результатов всех измерений можно указывать лишь тоже с точностью до α, то есть с точностью, определяемой точностью прибора.

Поэтому не стоит думать, что, сделав достаточно большое число повторных измерений величины а и найдя затем среднее арифметическое из результатов этих измерений, мы получим точное значение а. Мы его получим лишь в пределах точности измерительного прибора. Да и то, если исключим систематическую ошибку измерения.

Приведем еще один важный частный случай закона больших чисел. Пусть Х=k – число появлений некоторого события А в п повторных испытаниях (X – случайная величина). И пусть и – вероятности появления и непоявления события А в одном испытании. Рассмотрим случайную величину - относительную частоту появления события А в п испытаниях. Введем также n случайных величин (Х_1, Х_2,…X_n), которые представляют собой число появление события А в первом, втором, … п -ом испытаниях. Тогда k = Х₁+Х₂+…+Х_п, а

(13)

Случайные величины (Х_1, Х_2,…X_n) имеют одинаковые и простые законы распределения:

			(14)

Из (14) находим: (15)

Предельное вероятностное соотношение (10) для рассматриваемого случая примет вид:

(16)

То есть при достаточно большом числе п повторных испытаний можно почти наверняка (с вероятностью, близкой к единице) ожидать, что относительная частота появления события А практически совпадет с вероятностью появления события А в одном испытании. На этом выводе основано нахождение вероятностей многих случайных событий, чьи вероятности каким-то другим путем (теоретически) найти не удается.

Например, пусть испытание – это подбрасывание деформированной (несимметричной) монеты, а событие А для этого испытания – это выпадение герба. Вероятность события А по классической формуле или по какой-то другой теоретической формуле найти затруднительно, ибо в такой формуле должны быть как-то отражены характеристики деформации монеты. Поэтому реальный путь, ведущий к цели, здесь один: повторно бросать монету (чем больше число бросаний n, тем лучше) и определять опытным путем относительную частоту появления герба. Если n велико, то в соответствии с законом больших чисел можно с большой вероятностью утверждать, что .

Закон больших чисел проявляет себя во многих природных и общественных явлениях.

Пример 1. Как известно, газ, помещенный в закрытый сосуд, оказывает давление на стенки сосуда. Согласно законам газового состояния, при неизменной температуре газа это давление постоянно. Давление газа имеет своей причиной хаотические удары отдельных его молекул о стенки сосуда. Скорости и направления движения у всех молекул разные, поэтому разными являются и силы ударов различных молекул о стенки сосуда. Однако давление газа на стенки сосуда определяется не силой ударов отдельных молекул, а их средней силой. Но она, как средняя из огромного числа независимо действующих сил, согласно закону больших чисел, будет сохранять практически неизменное значение. Поэтому практически неизменным оказывается и давление газа на стенки сосуда.

Пример 2. Страховая компания, занимающаяся, например, автострахованием, выплачивает по разным страховым случаям (автомобильным авариям и ДТП) разные страховые суммы. Однако величина среднего значения этой страховой суммы, как среднего значения из многих различных n независимых страховых сумм, согласно закону больших чисел, будет практически неизменной. Ее можно определить, исследовав реальную статистику страховых случаев. Чтобы страховой компании не оказаться в убытке, средний размер страхового взноса, взимаемого с клиентов этой компании, должен быть выше средней страховой суммы, которую выплачивает компания своим клиентам. Но этот взнос не должен быть и слишком высоким, чтобы компания была конкурентноспособна (могла конкурировать по привлекательности с другими страховыми компаниями).

Дата добавления: 2013-12-13