Лекция 61. Функции случайных величин, действия со случайными величинами. Свойства математического ожидания и дисперсии

Пусть Y – случайная величина, значение которой полностью определяется значением другой случайной величины X. То есть случайная величина Y является функцией случайной величины X:

(1)

Например, если изготавливаются цилиндрические болванки, и X – диаметр болванок (X – случайная величина), то

(2)

- площадь поперечного сечения этих болванок, которая тоже является случайной величиной. И эта величина Y – функция величины X. Аналогично доход Y=pX от ежедневных продаж товара – функция от объема X проданного товара, где р – цена единицы товара. И т.д.

Пусть известно распределение случайной величины X (аргумента). Спрашивается, каким будет распределение случайной величины - функции величины X? Ответ на этот вопрос, очевидно, должен быть отдельным для дискретных и отдельным для непрерывных случайных величин.

1. Пусть X – дискретная случайная величина, а таблица (3) – закон ее распределения:

Х			…		(3)
р			…

Тогда - тоже дискретная случайная величина, а таблица (4) – закон её распределения:

			…		(4)
р			…

Действительно, значениями случайной величины будут значения …, а вероятности р; р;...р у этих значений будут теми же, что и у значений х; х;...х. Последние обстоятельство следует из того факта, что события Х=х и ) (i=1,2,…n) наступают или не наступают одновременно. Значит, они имеют одинаковые вероятности.

Пример 1. Случайная величина Х имеет следующий закон распределения:

Х	-1
р	0.5	0.2	0.2	0.1

Составить закон распределения случайной величины Y=Х.

Решение. Согласно (4) имеем:

р	0.5	0.2	0.2	0.1

Суммируя вероятности совпадающих значений, получим окончательно:

р	0.2	0.7	0.1

После того, как закон распределения функции составлен, можно, при желании, найти и её числовые характеристики М(Y), D(Y), s(Y), V(Y).

, , ,

2. Пусть теперь Х - непрерывная случайная величина, распределение которой задаётся интервалом (a;b) её возможных значений и плотностью вероятности f (х) для х (a;b). Тогда - тоже непрерывная случайная величина. Распределение величины Y будет известно, если мы найдём интервал (с; d) её возможных значений у и плотность вероятности g(у) для у (с; d).

Сразу отметим, что интервал (с;d), который содержит все возможные значения у случайной величины , представляет собой, очевидно, область значений функции у=(а<х<b). А плотность вероятности g(у) величины будем искать, исходя из следующих соображений.

Пусть х - некоторое возможное значение величины Х (а<х<b). Тогда y= (c<y<d) – соответствующее ему значение величины Y. Окружим точку x некоторым бесконечно малым отрезком длиной dx. Тогда этому отрезку, окружающему точку x, будет соответствовать некоторой бесконечно малый отрезок длиной , окружающий точку y (рис. 1)

В выражении производная взята по модулю с тем, чтобы выражение для длины dy было верным и для возрастающей функции (когда ), и для убывающей (когда ).

Попадание значения случайной величины X на отрезок dx будет, очевидно, автоматически означать попадание значения случайной величины Y на отрезок dy. Вероятности dp появления обоих этих событий, таким образом, одинаковы. Следовательно, одновременно имеем:

(5)

Сравнивая эти два значения dp, получаем:

(6)

Чтобы получить окончательное выражение для g(у), нужно правую часть равенства (6) выразить через у. Для этого из равенства у =, связывающего х и у, нужно х выразить через у. То есть нужно найти функцию х = , обратную к функции у = . Такая обратная функция заведомо существует, если исходная функция у = монотонно возрастает или монотонно убывает, что мы и будем предполагать. Найдя функцию x = , можем и производную функции у =выразить через y:

= (7)

С учетом этого функция g(y) причем следующий окончательный вид:

(c<y<d) (8)

Это и есть плотность вероятности непрерывной случайной величины Y, являющейся функцией Y =непрерывной случайной величины Х. При этом - плотность вероятности величины Х, а x =- функция, обратная функции у= .

После того, как найдена плотность вероятности случайной величины , можно, при желании, найти все числовые характеристики этой величины:

; , где ; (9)

Впрочем, для нахождения этих числовых характеристик величины не обязательно находить функцию g(y). Подставляя в интегралы (9) выражение (8) для g(y) и делая затем подстановку x = , получим (выкладки проделайте самостоятельно):

;

; (10)

;

Пример 2. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью вероятности (0). Найти плотность вероятности случайной величины Y = , а также вычислить её основные числовые характеристики.

Решение. Сначала найдём промежуток возможных значений у величины Y =. То есть найдем область значений функции у =(0). Она очевидна: 0. То есть = .

Теперь найдём g(у) (0) – плотность вероятности случайной величины Y. Так как у =(0), то х = (0), а . И тогда, согласно (5.8), получаем:

(0) (11)

А отсюда уже, согласно (9), находим:

; ;

; ;

Впрочем, для нахождения числовых характеристик случайной величины Y= можно было бы применить и формулы (10):

;

;

Пример 3. Непрерывная случайная величина X распределена нормально с параметрами (; ). Доказать, что любая линейная функция Y =(этой величины X тоже распределена нормально с параметрами (; ).

Доказательство. Плотность вероятности нормально распределенной величины X имеет, как известно, вид:

(-

Так как возможные значения x величины X - любые числа от - до , то и возможные значения у величины Y =- любые числа. То есть интервал (c; d) возможных значений величины Y – это вся ось oy от - до .

Теперь найдем g(y) (-<x<) - плотность вероятности случайной величины Y. Так как y =, то x = , а . И тогда, согласно (8), получаем

= (- < y < ),

где

.

Доказательство закончено.

Для нормально распределенных случайных величин доказан и более общий факт: если (X; X;…;X) – независимые нормально распределенные случайные величины, то любая их линейная комбинация

Z= X+C…+CX (12)

тоже является случайной величиной, распределенной нормально. И если () – параметры величин X (k = 1, 2,..., p), то параметры () величины Z таковы:

(13)

Дата добавления: 2013-12-13