Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Повторные пределы


Помощь в написании учебных работ
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

Следствие.

Монотонная на интервале функция имеет конечный предел как справа, так и слева в каждой внутренней точке этого интервала.

Доказательство.

Пусть функция не убывает на . Тогда для будем иметь:

, где т. , т. - произвольные точки из указанных промежутков. Согласно доказанной теореме , , причем

 

, т.е. и конечны.

 

В данном параграфе рассмотрим числовую функцию векторного аргумента или функцию многих переменных:

.

Для таких функций наряду с введенным ранее понятием предела (при одновременном стремлении всех аргументов к их предельным значениям) могут существовать пределы другого рода, получаемые в результате ряда последовательных предельных переходов по каждому аргументу в отдельности в том или ином порядке. Пределы такого рода будем называть повторными.

Рассмотрим функцию 2-х переменных . Пусть эта функция определена в некоторой прямоугольной окрестности точки : , за исключением, может быть, самой этой точки. Если при всяком фиксированном из промежутка существует конечный предел и, кроме того существует , то такой предел называется повторным пределом и обозначается . Аналогично определяется повторный предел .

Примеры.

1) . Не существует , что легко устанавливается с использованием определения Гейне:

, ;

, .

Повторные пределы существуют и равны: ==0.

2) . Не существует − доказывается по определению Гейне. Достаточно взять , где , тогда и зависит от значения .

Повторные пределы существуют, но не равны между собой:

, .

3) . по леммам о бесконечно малых (- б.м. при , а - ограниченные функции). Однако повторные пределы не существуют, ибо не существуют , .

Эти примеры показывают, что повторные пределы не всегда равны, а поэтому не всегда возможна перестановка предельных переходов. Для обоснования этой возможности рассмотрим теорему.

Теорема. Если 1) существует (- конечное или ); 2) при существует конечный ;

то существует повторный предел, равный двойному:

.

Доказательство.

Пусть – конечно. Согласно определению Коши предела функции для такое, что для



.

Фиксируем из проколотой -окрестности и в неравенстве переходим к пределу при : (используем условие 2) данной теоремы и теорему о предельном переходе в неравенстве). Согласно определению предела по Коши .

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Нормативный договор как форма права | Непрерывность функции

Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 482; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.021 сек.