Непрерывность функции

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если для такое, что для тотчас .

Отметим: 1) ; 2) данное определение не связано с понятием предела функции, это определение на языке окрестностей.

Определение 2. Функция называется непрерывной в предельной точке , если функция имеет в точке предел и этот предел равен частному значению функции в точке

: .

Из определения 2 следует, что для непрерывной в предельной точке функции имеет место равенство: .

Дадим определение непрерывности функции в данной точке по Гейне и по Коши, используя определение 2 и определения предела.

Определение 2 (Гейне). Функция называется непрерывной в предельной точке , если для любой последовательности , соответствующая последовательность значений функции всякий раз сходится к .

Определение 2 (Коши). Функция называется непрерывной в предельной точке , если такое, что для выполняется неравенство: .

Чем отличаются определения 1 и 2? Согласно определению 1 функция является непрерывной в любой изолированной точке своей области определения. Например, для функции областью определения является множество . В точке данная функция непрерывна, ибо для такое, что для тотчас . Однако, вся содержательная часть понятия непрерывности относится к случаю, когда предельная точка множества . Таким образом, определение 1 включает в себя определение 2.

Дата добавления: 2013-12-13