Теорема Кронекера – Копелли

Основные понятия.

Системы линейных уравнений.

Система видa

называется системой - линейных уравнений с неизвестными.

Числа,, называются коэффициентами системы.

Числа, называются свободными членами системы, – переменными системы. Матрица

называется основной матрицей системы, а матрица

– расширенной матрицей системы. Матрицы - столбцы

и - соответственно матрицами свободных членов и неизвестных системы. Тогда в матричной форме систему уравнений можно записать в виде. Решением системы называется значений переменных, при подстановке которых, все уравнения системы обращаются в верные числовые равенства. Всякое решение системы можно представить в виде матрицы - столбца. Тогда справедливо матричное равенство.

Система уравнений называется совместной если она имеет хотя бы одно решение и несовместной если не имеет ни одного решения.

Решить систему линейных уравнений это значит выяснить совместна ли она и в случае совместности найти её общее решение.

Система называется однородной если все её свободные члены равны нулю. Однородная система всегда совместна, так как имеет решение

.

Ответ на вопрос существования решений линейных систем и их единственности позволяет получить следующий результат, который можно сформулировать в виде следующих утверждений относительно системы линейных уравнений с неизвестными

(1)

Теорема 2. Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной (.

Теорема 3. Если ранг основной матрицы совместной системы линейных уравнений равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 4. Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.

Дата добавления: 2013-12-13