Первый замечательный предел

Свойства пределов функций

1) Предел постоянной равен самой постоянной. Это свойство следует из определения предела.

2) Постоянную можно выносить за знак предела.

.

3) Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций, если они существуют.

.

4) Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если они существуют.

5) Предел отношения двух функций: , если оба предела существуют и .

6) Если , то .

7) Если и , то . (Теорема о двух полицейских).

Докажем, что справедлива формула:

.

Прежде всего, заметим, что вследствие нечетности функции отношение при , близком к 0, положительно при любом знаке . Достаточно предположить, что приближается к 0, оставаясь положительным. В противном случае мы сменим знак , что не повлияет на результат. Используем геометрическое доказательство. Рассмотрим сектор круга радиуса 1 с углом при вершине, равным . BM – дуга граничной окружности сектора, A – его вершина, AB = AM = 1. BD – отрезок касательной к дуге BM в точке B. BC – перпендикуляр, опущенный из точки B на отрезок AM.

В силу последовательной вложимости друг в друга треугольника ABM, сектора ABM и треугольника ABD соответствующие соотношения имеют место между площадями этих фигур: . Имеем . Поэтому получаем неравенство . Если мы поделим все части этого неравенства на , то в силу предположения о знаке знаки неравенства не изменятся. Поэтому мы имеем . А теперь устремим к нулю и применим теорему о двух полицейских. Мы получим . Осталось применить свойство 5) пределов для получения предела обратной величины: .

Дата добавления: 2013-12-13