Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Первый замечательный предел

Свойства пределов функций

1) Предел постоянной равен самой постоянной. Это свойство следует из определения предела.

2) Постоянную можно выносить за знак предела.

.

3) Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций, если они существуют.

.

4) Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если они существуют.

5) Предел отношения двух функций:, если оба предела существуют и.

6) Если, то .

7) Если и , то . (Теорема о двух полицейских).

Докажем, что справедлива формула:

.

Прежде всего, заметим, что вследствие нечетности функции отношение при , близком к 0, положительно при любом знаке . Достаточно предположить, что приближается к 0, оставаясь положительным. В противном случае мы сменим знак , что не повлияет на результат. Используем геометрическое доказательство. Рассмотрим сектор круга радиуса 1 с углом при вершине, равным . BM – дуга граничной окружности сектора, A – его вершина, AB = AM = 1. BD – отрезок касательной к дуге BM в точке B. BC – перпендикуляр, опущенный из точки B на отрезок AM.

В силу последовательной вложимости друг в друга треугольника ABM, сектора ABM и треугольника ABD соответствующие соотношения имеют место между площадями этих фигур: . Имеем . Поэтому получаем неравенство . Если мы поделим все части этого неравенства на , то в силу предположения о знаке знаки неравенства не изменятся. Поэтому мы имеем . А теперь устремим к нулю и применим теорему о двух полицейских. Мы получим . Осталось применить свойство 5) пределов для получения предела обратной величины: .

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
 | Непрерывность функции. Второй замечательный предел и его следствия

Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 343; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:

  1. I. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОЦЕНОЧНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ ТОРМОЗНЫХ СВОЙСТВ
  2. I. Понятие товара. Товарная политика и факторы её определяющие.
  3. II. Определение «целей» и «предметов» переговоров.
  4. III этап. Определение правовых отношений родителей и детей.
  5. IX. Распределение тренировочных занятий, соревнований и дней отдыха
  6. L Вероятность обнаружения электрона определяется квадратом волновой функцией - y2
  7. V. Определить вид умозаключения.
  8. VI. Определить вид умозаключения, написать формулу, проверить.
  9. X.1. Определение мышления.
  10. Адание 3. Определите с помощью логического квадрата отношения между следующими суждениями.
  11. Акция - это документ, выпускаемый только АО на величину его уставного капитала. В формальном отношении акция удостоверяет внесение определенного вклада в уставной капитал АО.
  12. Алгоритмы распределения памяти с использованием внешней памяти

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.017 сек.