Непрерывность функции. Второй замечательный предел и его следствия

Второй замечательный предел и его следствия

Справедливы следующие формулы, называемые вторым замечательным пределом:

Равносильность этих формул следует из связи переменных: .

Мы получали число Непера из подобной формулы, где была последовательность, а не функция. Заметим, что здесь в первой из приведенных формул переменная может стремиться как к , так и к , а также может просто расти по абсолютной величине, меняя знак произвольно. Приведенная формула имеет следующие следствия.

1. Если мы формально прологарифмируем вторую из приведенных формул, мы получим 1-е следствие второго замечательного предела:

.

2. Другим следствие второго замечательного предела является предел, получаемый из предыдущего заменой :

.

3. Рассмотрим теперь предел . Сделаем замену . При такой замене тогда и только тогда, когда . Получим

Определение 1. Функция непрерывна в точке , если предел этой функции при равен значению функции в предельной точке, то есть .

Применяя второе определение предела функции в точке, получим

Определение 2. Функция непрерывна в точке , если .

Определение 3. Функция непрерывна в точке , если , где приращение аргумента функции (), а – приращение функции, соответствующее приращению ее аргумента .

Доказательство следует из первого определения непрерывной функции

Здесь первый из пределов вычисляется с помощью определения 1, второй – как предел постоянной, поскольку не зависит от .

Определение 4. Функция непрерывна в точке , если

.

Определение 5. Функция непрерывна в некоторой области, если она непрерывна во всех точках этой области.

Дата добавления: 2013-12-13