Логарифмический декремент затухания и добротность колебательной системы

Для количественной характеристики затухания, кроме коэффициента затухания d, используют логарифмический декремент затухания. Введение последнего обосновано тем, что отношение двух любых последовательных амплитуд А_n и А_n+1 остается постоянным в течение всего процесса, т. е. .

Логарифмический декремент равен натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд:

.

Декремент – число (безразмерная величина), характеризующее быстроту затухания колебаний во времени. Выразим А_n и A_n+1 :

,

 

.

Логарифмический декремент прямо пропорционален коэффициенту затухания d. Если затухания в системе нет: d = 0, то и q = 0.

Физический смысл декремента: величина, обратная декременту (), равна числу колебаний n, через которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

 

Для характеристики затухания используется и время релаксации t, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

.

Получаем , т. е. время релаксации обратно пропорционально коэффициенту затухания.

 

Качество колебательной системы определяется ее добротностью. Чем медленнее рассеивается энергия, тем добротнее система. Добротность определяется соотношением

,

где Е(t) – полная энергия колебательной системы в момент времени t; Е(t + T) – энергия в момент времени t + T т. е. спустя период; Е(t) – E(t + T) – энергия, рассеянная за период.

Так как полная энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебания Е ~ А² , то для затухающих колебаний получим Е(t) ~ . Добротность будет равна:

.