Гіперболічний параболоїд. Властивості. Зображення

Еліптичний параболоїд. Властивості. Зображення.

Двопорожнинний гіперболоїд. Властивості. Зображення.

Однопорожнинний гіперболоїд. Властивості. Зображення.

Еліпсоїд. Властивості. Зображення.

Дослідження поверхні другого порядку за допомогою плоских перерізів.

Загальне рівняння поверхні другого порядку. Сфера та її рівняння.

План.

Деякі поверхні другого порядку. Їхні канонічні рівняння, властивості та зображення.

Лекція 16.

1. Розглянемо довільне рівняння з трьома змінними

. (1)

Нагадаємо, що його називають рівнянням деякої поверхні , якщо координати кожної точки поверхні в деякій афінній системі координат задовольняють рівняння (1), а також кожний розв’язок рівняння (1) задає точку на поверхні. Деякі випадки поверхонь та їх рівнянь нам уже знайомі. Зокрема, рівняння першого степеня

,

де коефіцієнти одночасно не дорівнюють нулю, визначає площину, а рівняння

задає сферу з центром у точці , радіус якої . Водночас із шкільного курсу геометрії нам також відомі і інші поверхні, зокрема такі, як циліндр та конус, тому хоча б з точки зору аналітичної геометрії нас повинно зацікавити питання про те, якими рівняннями описуються ці поверхні.

Дальше ми будемо розглядати поверхні другого порядку, тобто поверхні, які задаються рівнянням виду

, (2)

де - деякі числові коефіцієнти, причому одночасно не дорівнюють нулю. Рівняння (2) називають загальним рівнянням поверхні другого порядку. У лекції 25 ми доведемо той факт, що завжди можна вибрати напрямки координатних осей так, щоб у перетвореному рівнянні поверхні були відсутні доданки, які містять добутки та . Тому, не зменшуючи загальності, будемо розглядати рівняння (1) у виді

, (3)

а також вважати, що система координат, в якій розглядається поверхня, – прямокутна декартова.

Розглянемо частинний випадок рівняння (3), коли . Рівняння запишемо у виді , де . Очевидно, що при дане рівняння визначає сферу з центром в точці , радіус якої . При рівняння визначає сферу нульового радіуса (в цьому випадку поверхні належить єдина точка ), а при координати жодної точки простору не задовольняють рівняння. Поверхню, задану таким рівнянням, називають уявною сферою.

2. Перше, ніж перейти до розгляду окремих поверхонь, розглянемо один із способів їх дослідження – так званий метод перерізів. Насамперед зауважимо, що система рівнянь

(4)

задає в просторі деяку лінію , оскільки вона визначає певну множину точок, які одночасно належать поверхням та . Наприклад, система задає в просторі коло, яке утворюється при перетині сфери та площини. Той факт, що сфера та площина перетинаються, випливає з того, що радіус сфери більший, ніж відстань від центра сфери до площини. Нехай точка належить лінії , а також рівняння можна подати у виді . Система

(5)

рівносильна системі (4), отже, визначає в просторі ту саму лінію . Очевидно, що першому рівнянню системи (5), крім точки , задовольняють також координати кожної точки , де - довільне. Серед таких точок буде також точка , яка лежить у площині . Оскільки кожна точка проектується у відповідну точку , то рівняння можна розглядати, як ортогональну проекцію лінії на площину . Аналогічно, якщо виникає потреба спроектувати лінію на площину , достатньо виключити із системи (4) змінну , а при проектуванні лінії на площину , достатньо виключити із системи (4) змінну . Наприклад, проекцією кола на площину буде лінія, рівняння якої в площині має вигляд , або . Не займаючись дослідженням одержаного рівняння, зауважимо, що воно, очевидно, задає еліпс.

Дальше при дослідженні поверхні (1) ми будемо перетинати її різними площинами (зокрема такими, які паралельні до координатних площин) та, проектуючи лінії перетину на координатні площини, робити висновки про форму поверхні. Перейдемо до розгляду частинних випадків рівняння (3).

3. Еліпсоїд – це поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат може бути задана рівнянням

. (6)

Дане рівняння називають канонічним рівнянням еліпсоїда. Опишемо деякі властивості цієї поверхні, які безпосередньо випливають із рівняння (6).

Властивість 1. Дана поверхня симетрична відносно початку координат, координатних площин та осей.

Властивість 2. Еліпсоїд перетинає координатні осі в точках , , , , , .

Властивість 3. Точки еліпсоїда розташовані всередині прямокутного паралелепіпеда, який визначається системою рівнянь

Для доведення властивості 1 достатньо побачити, що разом з точкою поверхні належать також точки , , , , , та . Дана властивість фактично означає, що координатні площини є площинами симетрії, координатні осі – осями симетрії, а початок координат – центром симетрії для еліпсоїда.

Доведення властивості 2 очевидне.

Для доведення властивості 3 припустимо, що для точок, які належать еліпсоїду, виконується умова або . А це суперечить рівності (6). Отже, для всіх точок еліпсоїда виконується умова . Аналогічно доводяться друга та третя нерівності системи.

Розглянемо перерізи еліпсоїда площинами, які паралельні до координатних площин. Система

визначає сім’ю ліній, проектуючи які на площину , дістаємо лінії, які задаються рівняннями . Якщо , то це рівняння задає параметричну сім’ю еліпсів з півосями та . Оскільки відношення півосей, яке визначає ексцентриситет, а, отже, і форму еліпса, не залежить від , то всі еліпси мають однакову форму. Найбільший із еліпсів отримаємо при . Він знаходиться у площині . При зростанні від 0 до півосі еліпса зменшуються і він стягується в точку при . Аналогічно, системи рівнянь

задають та параметричні сім’ї еліпсів, які лежать у площинах, паралельних до площин та . Виконані дослідження дозволяють зобразити дану поверхню (рис. 1).

Точки та називають вершинами еліпсоїда, початок координат – його центром, а числа та - півосями еліпсоїда. Оскільки при площини перетинають еліпсоїд по колах, то рівняння

задає поверхню обертання. Її називають еліпсоїдом обертання з віссю обертання . Аналогічно, рівняння та задають еліпсоїди обертання з осями обертання та відповідно. При рівняння виражає сферу.

4.Однопорожнинний гіперболоїд - це поверхня, яка у деякій прямокутній системі координат може бути задана рівнянням

, (7)

яке називають канонічним рівнянням однопорожнинного гіперболоїда.

Аналогічно, як і у попередньому випадку, можна довести, що координатні площини є площинами симетрії, координатні осі – осями симетрії, а початок координат – центром симетрії для однопорожнинного гіперболоїда. Поверхня перетинає координатні осі в точках , , , , а вісь - не перетинає.

Дослідимо перерізи однопорожнинного гіперболоїда. площинами, які паралельні до координатних площин. Система задає -параметричну сім’ю ліній, проекції яких на площину запишуться у виді рівнянь . Очевидно, що при дане співвідношення визначає дві прямі , а при - параметричну сім’ю гіпербол із однаковим відношенням півосей, тобто з однаковим ексцентриситетом. Всі цігіперболи мають однакову форму. Аналогічні висновки можна зробити про систему . У випадку системи дістаємо параметричну сім’ю еліпсів однакової форми з півосями та , які лежать у площинах, паралельних до площини . При зростанні , тобто коли січні площини віддаляються від площини , півосі еліпсів збільшуються. Найменші півосі та має еліпс, який утворюється при перетині однопорожнинного гіперболоїда площиною - це так званий горловий еліпс. Зображення однопорожнинного гіперболоїда наведено на рисунку 2.

Точки ,, в яких координатні осі перетинають однопорожнинний гіперболоїд, називають вершинами однопорожнинного гіперболоїда, а початок координат – його центром.

Оскільки при площини виду перетинають поверхню по колах, то рівняння

задає поверхню обертання. Її називають однопорожнинним гіперболоїдом обертання з віссю обертання .

5. Ще один частинний випадок рівняння (3) – це рівняння

. (8)

Поверхню, задану таким рівнянням, називають двопорожнинним гіперболоїдом. Очевидно, що дана поверхня симетрична відносно координатних площин, координатних осей та початку координат. Вісь перетинає її у двох точках та . Інші дві координатні осі спільних точок із поверхнею не мають. На двопорожнинному гіперболоїді немає точок, абсциси яких задовольняють нерівність . Справді, у цьому випадку виконувалася б нерівність , а при цій умові рівність (8) неможлива. Перерізи двопорожнинного гіперболоїда площинами , де , утворюють еліпси однакової форми, півосі яких та збільшуються при зростанні , тобто, коли площина віддаляється від площини . Площини виду та перетинають поверхню по лініях

та

які, очевидно, є гіперболами з півосями, що збільшуються при зростанні та . Зображення двопорожнинного гіперболоїда наведено на рисунку 3.

Зауважимо, що при площини () перетинають поверхню по колах. У цьому випадку ми отримуємо поверхню, яка задається рівнянням і називається двопорожнинним гіперболоїдом обертання з віссю обертання .

6. Еліптичний параболоїд – це поверхня, яка у деякій прямокутній системі координат може бути задана рівнянням

. (9)

Дане рівняння називають канонічним рівнянням еліптичного параболоїда. Серед деяких властивостей цієї поверхні відмітимо, що вона симетрична відносно координатних площин , та осі . Це випливає з того, що разом з точкою поверхні належать також точки , , та . Існує єдина спільна точка поверхні та координатих осей – це початок координат. Всі інші точки поверхні розташовані над площиною .

Перерізи поверхні площинами , де , утворюють еліпси однакової форми, півосі яких та збільшуються при зростанні . Це означає, що розміри еліпсів збільшуються, якщо площина віддаляється від площини . Площини виду та перетинають еліптичний параболоїд по параболах та , вітки яких напрямлені вгору, а вершини зміщуються вверх при зростанні та . Еліптичний параболоїд зображено на рисунку 4.

Зауважимо, що дану поверхню можна одержати, виготовивши каркаси двох парабол , та рухаючи одну з них по другій так, щоб вершина рухомої параболи залишалась на нерухомій. При цьому площини парабол повинні бути перпендикулярними, а їхні вітки напрямлені в одну сторону.

При площини () перетинають поверхню по колах, тому рівняння задає поверхню, яку називають параболоїдом обертання з віссю обертання . Такі поверхні мають широкі технічні застосування, які ґрунтуються на так званій оптичній властивості параболоїда обертання. Зміст її полягає в тому, що якщо в точці , так званому фокусі параболоїда, помістити джерело світла, то відбиті від поверхні промені будуть поширюватися по прямих, які паралельні до осі параболоїда. Прикладами такої поверхні є різного роду антени, зокрема параболічні, рефлектори, деякі види лінз. Форму параболоїда обертання набирає вода, налита в циліндричну посудину, якщо останню обертати з певною кутовою швидкістю навколо своєї осі.

7. Гіперболічний параболоїд – це поверхня, яка задається рівнянням

. (10)

Його називають канонічним рівнянням гіперболічного параболоїда. Дана поверхня симетрична відносно координатних площин , та осі . Доведення цього твердження виконується так само, як у попередньому пункті. Очевидно, що поверхня проходить через початок координат.

Дослідимо перерізи поверхні площинами виду , тобто лінії . При перше рівняння можна подати у вигляді добутку множників, звідки дістаємо . Це означає, що поверхня перетинає площину по двох прямих, які перетинаються в початку координат. При в перерізах дістаємо гіперболи однакової форми, півосі яких збільшуються при зростанні , причому при їхні дійсні осі паралельні до осі , а при їхні дійсні осі паралельні до осі . Площини виду

перетинають поверхню по параболах , вітки яких, як видно з рівняння, напрямлені вниз. а вершини зміщуються вверх при зростанні . Площини виду перетинають гіперболічний параболоїд по параболах , вітки яких напрямлені вгору, а вершини зміщуються вверх при зростанні . Гіперболічний параболоїд зображено на рисунку 5.

Той цікавий факт, що існують прямі, які належать поверхні (до речі, з цим фактом ми вже зустрічались у випадку однопорожнинного гіперболоїда), більш детально буде проаналізовано в наступній лекції, де, зокрема, буде показано, що через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда та гіперболічного параболоїда проходить дві і тільки дві прямі, які повністю належать поверхні.

Зауважимо також, що подібно до випадку еліптичного параболоїда, поверхню гіперболічного параболоїда можна одержати, рухаючи параболу по параболі так, щоб вершина рухомої параболи залишалась на нерухомій. При цьому площини парабол повинні бути перпендикулярними, а їхні вітки напрямлені в протилежні сторони.

Дата добавления: 2013-12-13