Приклади розв’язання задач

Прямолінійні твірні поверхонь другого порядку.

Поверхні обертання.

Поняття конічної поверхні. Рівняння конічних поверхонь.

Поняття циліндричної поверхні. Рівняння циліндричних поверхонь. Приклади.

План.

Циліндричні та конічні поверхні. Поверхні обертання. Прямолінійні твірні поверхонь другого порядку.

Лекція 17

1. Нехай у просторі задана деяка лінія та вектор , який задає певний напрям.

Означення 1. Множину всіх прямих, які перетинають задану лінію та паралельні даному напряму, називають циліндричною поверхнею.

Для того, щоб скласти рівняння такої поверхні в деякій афінній системі координат, вважатимемо, що лінія задана системою рівнянь

, (1)

тобто задана, як лінія перетину двох поверхонь, а вектор заданий своїми координатами: . Нехай точка належить циліндричній поверхні. Проведемо через неї у напрямку вектора пряму, яка перетне лінію у деякій точці , (рис. 1). Очевидно, що вектори та будуть колінеарні. З рівності дістаємо співвідношення, які зв’язують координати векторів:

. (2)

Оскільки точка належить лінії , то виконуються рівності

. (3)

Підставляючи рівності (2) в (3), дістаємо . Одержані співвідношення містять змінний параметр , виключаючи який із системи, дістаємо деяку рівність , яка зв’язує змінні та і є шуканим рівнянням циліндричної поверхні. Лінію називають напрямною, а прямі, які перетинають та мають напрям вектора - твірними циліндричної поверхні.

Користуючись наведеним алгоритмом, складемо рівняння циліндричної поверхні, напрямною якої є лінія, що лежить в площині та має рівняння , а твірні паралельні до осі . Рівності (2) у цьому випадку матимуть вигляд . Підставляючи їх у систему , дістаємо рівняння циліндричної поверхні , яке, як бачимо, співпадає з рівнянням лінії. Вибираючи в ролі напрямних лінії другого порядку: еліпс (зокрема коло), гіперболу та параболу, дістаємо три види поверхонь другого порядку, які є частинними випадками циліндричних поверхонь:

- еліптичний циліндр (зокрема - круговий циліндр) (рис. ), - гіперболічний циліндр (рис. ) та - параболічний циліндр (рис. ).

2. Нехай у просторі задана деяка лінія та точка .

Означення 2. Множину всіх прямих, які перетинають задану лінію та проходять через дану точку , називають конічною поверхнею.

Виведемо рівняння конічної поверхні, вважаючи, що лінія задана системою рівнянь , а точка задана своїми координатами:. Нехай точка належить конічній поверхні. Проведемо через неї та точку пряму, яка перетне лінію в деякій точці (рис. 3).

Очевидно, що вектори та будуть колінеарні. З рівності дістаємо співвідношення, які зв’язують координати векторів:

. (4)

Оскільки точка належить лінії , то виконуються рівності , підставляючи в які співвідношення (4), дістаємо . Виключаючи з одержаних рівностей змінний параметр , дістаємо рівність , яка і є рівнянням конічної поверхні. Лінію називають напрямною, прямі, які перетинають та проходять через точку - твірними, а точку - вершиною конічної поверхні.

Складемо рівняння конічної поверхні, напрямною якої є лінія , тобто еліпс, розташований в площині , а вершина знаходиться в початку координат. Нехай точка належить конічній поверхні, а точка належить заданій напрямній та променю . З векторної рівності дістаємо . Підставивши одержані співвідношення у систему , отримуємо , звідки, виключаючи параметр , дістаємо

. (5)

Одержане рівняння є рівнянням шуканої конічної поверхні. При напрямна буде колом, а рівняння (5) зведеться до виду

.

Це рівняння задає поверхню другого порядку, яку називають круговим конусом (рис. 4).

3. Перейдемо до розгляду поверхонь, які утворюються при обертанні деякої лінії навколо певної прямої. Вважатимемо, що лінія та пряма лежать в одній площині. Такі поверхні називаються поверхнями обертання.

Нехай в площині рівнянням , де , задана деяка лінія . Розглянемо поверхню, утворену в результаті її обертання навколо осі (рис.5).

Нехай точка належить поверхні. Проведемо через неї площину перпендикулярно до осі , яка перетне вісь в деякій точці , а також лінію у точці . Оскільки та , то

. (5)

Одержана рівність виражає зв'язок між змінними та , тому є рівнянням шуканої поверхні. При дістаємо , тому рівність (5) залишається вірною, тобто рівняння (5) в усіх випадках є рівнянням шуканої поверхні обертання.

Наведемо приклади поверхонь обертання. Нехай в площині задана пряма . При її обертанні навколо осі дістаємо поверхню, яка задається рівнянням , тобто є конусом. При обертанні навколо осі прямої дістаємо круговий циліндр . Обертання еліпса , гіперболи , або параболи навколо осі приводить нас до рівнянь , та відповідно, які, як нам уже відомо, виражають еліпсоїд, гіперболоїд та параболоїд обертання.

4. Введемо поняття прямолінійних твірних поверхонь другого порядку.

Означення 3. Пряму, кожна точка якої належить поверхні, називають прямолінійною твірною цієї поверхні.

Очевидно, що кожна твірна циліндричної та конічної поверхні є її прямолінійною твірною. Дослідимо питання існування прямолінійних твірних у випадку інших поверхонь. Не розглядаючи поверхні еліпсоїда, двопорожнинного гіперболоїда та еліптичного параболоїда, для яких, очевидно, прямолінійних твірних не існує, зупинимось на випадку однопорожнинного гіперболоїда. Розглянемо його канонічне рівняння , яке запишемо у виді

. (6)

Крім цього розглянемо системи рівнянь

(7)

та

, (8)

де та - довільні числові параметри. Кожне з рівнянь систем є рівнянням першого степеня, тобто визначає в просторі деяку площину. Оскільки дві довільні площини з кожної системи перетинаються, то обидві системи задають - та - параметричні множини прямих. Очевидно, що кожний розв’язок систем (7) та (8) задовольняє рівняння (6), тому ці системи задають - та - параметричні сім’ї прямолінійних твірних однопорожнинного гіперболоїда.

Будемо вважати, що системи (7) та (8) містять, як частинні випадки, рівняння прямих та . Їх не можна отримати із даних систем при будь-яких скінчених значеннях параметрів - та , але можна розглядати, як результат граничного переходу в системах та при та .

Доведемо наступне твердження.

Теорема. Через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда проходить рівно по одній прямій з кожної - та - параметричних сімей прямих (7) та (8). Дві довільні прямолінійні

Дата добавления: 2013-12-13