Обратная матрица. Для каждого числасуществует обратное число такое, что произведение

Для каждого числа существует обратное число такое, что произведение . Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.

Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

(4.1)

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка.

Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную.

Если определитель матрицы отличен от нуля , то такая квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при ) — вырожденной, или особенной.

Присоединенной матрицей к квадратной матрице называется матрица , полученная транспонированием из матрицы, составленной из алгебраических дополнений к элементам .

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная. Причем

(4.2)

где - матрица, присоединенная к матрице .

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1⁰. Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица вырожденная и обратной матрицы не существует. Если , то матрица невырожденная и обратная матрица существует.

2⁰. Находим матрицу , транспонированную к .

3⁰. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу : .

4⁰. Вычисляем обратную матрицу по формуле.

5⁰. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения (п. 5° не обязателен).

Пример 9. Найти матрицу, обратную к матрице .

Решение:

1. Найдем определитель матрицы : [разложим по элементам 1-ой строки] =

.

2. Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы :

;

;

;

; ;

; ;

; .

3. Запишем матрицу .

4. Найдем матрицу .

5. Сделаем проверку:

;

.

Дата добавления: 2013-12-13