Эквивалентные бесконечно малые функции

Доказательство.

Натуральный логарифм

Наряду с экспонентой в математике и ее приложениях играет натуральный логарифм.

Натуральным логарифмом называется логарифм с основанием e – эйлеровым числом, обозначаемый символом .

Справедливо утверждение. Функция обладает следующим свойством:

(3.1)

Задача 3.1. Найти предел функций:

Решение. Имеем неопределенность вида:

.

Для ее раскрытия введем новую переменную по формуле , . Очевидно, при . Отсюда получаем:

.

Эквивалентные бесконечно малые функции играют в теории пределов большую роль: они значительно облегчают вычисления пределов отношения бесконечно малых функций.

Определение 4.1. Две бесконечно малые функции и называются эквивалентными при , если предел их отношения при равен единице:

(4.1)

Эквивалентность функций обозначается символом «~» или «». Из равенства (1.1) следует:

Например, функции и эквивалентны при , т.к.

Другие примеры эквивалентных функций дают равенства:

1⁰. 2⁰_. 3⁰.

4⁰.

Приведем список эквивалентных бесконечно малых функций, применяемых на практике.

Важнейшие эквивалентности, используемые
при вычислении пределов при

1⁰. 6⁰.

2⁰. 7⁰.

3⁰. 8⁰.

4⁰. 9⁰.

5⁰. 10⁰.

В раскрытии неопределенностей типа большую пользу оказывает следующая теорема.

Теорема 4.1. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если одну из них или каждую заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией.

Доказательство. Имеем две пары бесконечно малых функций:

при (4.2)

Докажем справедливость равенства:

(4.3)

Для доказательства преобразуем дробь в левой части равенства (1.3):

Воспользуемся свойством пределов – предел произведения функций равен произведению пределов эти х функций:

и окончательно:

Теорема доказана.

Покажем, как используя доказанную теорему, упростить решение задач лекции № 3.

Задача 4.1. Найти предел функций:

Решение. Имеем неопределенность вида . Раскроим эту неопределенность:

Задача 4.2. Найти предел функций:

Решение. Имеем неопределенность вида . Раскроим ее:

Рассмотрим решение более сложных задач.

Задача 4.3. Найти предел функций:

Решение. Очевидно, здесь неопределенность типа Для ее раскрытии применим теорему об эквивалентных БМФ.

Задача 4.4. Найти предел функций:

Решение. Подставим в числитель и знаменатель дроби

Неопределенность вида

Применим теорему об эквивалентности БМФ:

Задача 4.5. Найти предел функций:

Решение. Имеем неопределенность типа

Дата добавления: 2013-12-13