Запись чисел в двоичной системе

Общие сведения о системах счисления

Когда вам говорят, запишите такое-то число, вы, не задумываясь, изображаете его с помощью десяти арабских цифр 0, 1, 2,...9. Эти цифры образуют десятичную систему счисления, и именно в этой системе излагается школьная арифметика. Поэтому для большинства людей естественной является десятичная система, а о существовании других систем счисления они могут и не подозревать.

Однако для компьютеров естественным является иной язык - язык нулей и единиц, который отвечает двоичной системе счисления. Так уж устроен компьютер, что его электронные узлы могут работать только с двумя цифрами (0 и 1), а не с десятью.

Система счисления - это совокупность приемов и правил для обозначения и наименования чисел.

Алфавит системы - это множество всех символов (знаков), используемых для записи чисел.

Цифра - это любой символ (знак), входящий в алфавит системы счисления.

Системы счисления бывают позиционные и непозиционные.

Система счисления называется непозиционной, если количественный эквивалент значения каждого символа не зависит от его положения(места, позиции) в коде числа.

Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить Римская система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме.

В основе лежали знак I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для числа 10, L (50),C для 100, D (500) и M для 1000.

Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятерок, единиц.

Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:

ХХVIII=10+10+5+1+1+1

Недостатки

• Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.
• Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.
• Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент (значение) символа зависит от его положения (места, позиции) в записи числа.

Примером позиционной системы счисления является известная нам с детства десятичная система, в которой для записи чисел используются десять различных знаков (цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Для позиционных систем характерным и определяющим является наличие основания системы, которое показывает, во-первых, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию и, во-вторых, какое число различных цифр входит в ограниченный набор, называемый алфавитом

Основанием системы счисления может быть любое целое число не менее 2.

Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, восьмеричная и т.д.).

Десятичная система возникла в результате счета на пальцах. Зародилась она в Индии в 5 веке и была изложена в рукописях на арабском языке, которые датируются 9 веком. Поэтому цифры этой системы называются арабскими.

В информатике, помимо двоичной системы, часть приме­няются восьмеричная (основание равно 8) и шестнадцатеричная (основание 16) системы счисления.

Рассмотрим структуру привычных для нас десятичных чисел. Записывая какое-либо десятичное число, например 888, мы могли бы записать в виде суммы:

888 = 8x100 +8x10 + 8x1

Любое десятичное число можно записать в виде суммы различных степеней основания 10*. Например:

1234 = 1х10³+ 2х10² + 3х10¹ + 4x10°

565,375=5*102+6*101+5*100+3*10-1+7*10-2+5*10-3

Аналогично поступают и в случае двоичной системы, алфавит которой образован всего двумя цифрами: 0 и 1.

Здесь двоичные числа мы обозначили круглыми скобками с индексом 2, чтобы не спутать эти числа с десятичными. Первые две цифры (0 и 1) в двоичной системе вы­глядят так же, как и в десятичной системе, поскольку записываются с помощью одного разряда. При переходе к третьей цифре («двойке») в двоичной системе нужен еще один разряд, так как младший разряд уже заполнен. В новый разряд записываем 1, а в младшем разряде остается 0: (10)₂ = 2. Затем заполняем младший разряд и получаем цифру (11)₂ = 3. Для записи следующей цифры нужно уже открывать новый разряд, поскольку имеющиеся разряды заполнены. Так и делаем: вводим новый разряд, записываем в него 1, а младшие разряды «обнуляем». В результате получаем: (100)₂ = 4. При этом действует принцип, обратный «старшинству»: сначала заполняется младший разряд, а затем - более старший. Когда заполнились все три разряда, открываем новый разряд и так далее. С помощью четырех двоичных разрядов мы сможем записать не только алфавит арабских цифр, но и продвинуться до числа 15, которое имеет вид (1111)₂.

Именно двоичная система была взята за основу при построении вычислительных машин. Связано это с тем, что электронные элементы (триггеры), из которых конструируется вычислительная аппаратура, воспроизводят и распознают лишь два состояния, обозначаемых как 0 и 1.

Зададимся вопросом: сколько чисел можно записать с помощью п битов, то есть с помощью n-разрядных двоичных чисел?

Дата добавления: 2013-12-13