Предельный переход и неравенства

Теорема 1. Если , то для почти всех .

Доказательство. Обозначим , . Из условий следует, что для почти всех . Поэтому для почти всех .

Теорема 2. Если для почти всех , то .

Доказательство. Предположим противное, т.е. предположим, что . Тогда по теореме 1 будет для почти всех , а это неравенство противоречит условию теоремы.

Следствие. Если , то последовательность для почти всех отделена от нуля и сохраняет знак (знак, такой же, как у числа ).

Доказательство. Пусть, например . Тогда , т.е.. В таком случае по теореме 1 для почти всех .

Теорема 3. (Теорема о двусторонней оценке или “теорема о двух полицейских”).

Пусть для п.в. и пусть . Тогда .

Доказательство. Из условия теоремы следует, что для почти всех выполнена система неравенств . Поэтому для почти всех .

Дата добавления: 2013-12-13