Предел функции. Свойства пределов

Предельный переход и арифметические операции.

Лемма 1. Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.

Доказательство. Достаточно ограничиться случаем двух слагаемых. Пусть и − бесконечно малые последовательности. Если − произвольное положительное число, то для почти всех будет . Следовательно, для почти всех .

Замечание. Для бесконечного числа слагаемых подобное утверждение не верно.

Контрпример. Если , то − б.м., в то время как .

Лемма 2. Произведение бесконечно малой последовательности и ограниченной последовательности представляет собой бесконечно малую последовательность.

Доказательство. По условию , для почти всех , где . Следовательно, для почти всех .

Теорема 1. (О пределе суммы). Если и , то существует предел последовательности и он равен . Краткая формулировка: предел суммы равен сумме пределов. (Это утверждение справедливо для любого конечного числа слагаемых).

Теорема 2. (О пределе произведения). Если и , то существует предел последовательности и он равен . Краткая формулировка: предел произведения равен произведению пределов. (Это утверждение справедливо для любого конечного числа сомножителей).

Теорема 3. (О пределе отношения). Если и , причём , то существует предел последовательности и он равен . Краткая формулировка: предел отношения равен отношению пределов.

При доказательстве всех трёх теорем , где − б.м. последовательности.

Доказательство теоремы 1. , поэтому ; Доказательство теоремы 2. , поэтому .

Доказательство теоремы 3. Обозначим. Ясно, что Поэтому представляет собой произведение б.м. и ограниченной последовательностей (и, следовательно, отделена от нуля, а потому последовательность ограниченна). Таким образом, , следовательно, .

Определение. Число называется пределом функции (в записи: ), если для любого положительного числа в некоторой окрестности точки выполняется неравенство . С помощью логической символики это можно выразить следующим образом: .

В частности, если здесь , то называется б.м. функцией .

Определение. Функция называется б.б. (в записи: ), если в некоторой окрестности т. выполняется неравенство .

Свойства пределов функций формулируются и доказываются точно так же, как и свойства пределов последовательностей.

Лемма 1. Бесконечно большие и бесконечно малые функции взаимно обратны по величине.

Лемма 2. Равенство выполняется тогда и только тогда, когда , где − б.м. функция .

Лемма 3. (Свойство локальной ограниченности) Если существует конечный предел функции , то эта функция ограниченна в некоторой окрестности точки .

Теорема 1. (О предельном переходе в неравенстве). Пусть и . Тогда, если , то в некоторой окрестности точки . Наоборот, если в окрестности точки , то .

Следствие. (Локальное сохранение знака) Если , то функция сохраняет знак и отделена от нуля в некоторой окрестности точки .

Теорема 2. (О двустороннем ограничении.) Если в окрестности точки и , то .

Теорема 3. (Предельный переход и арифметические операции) Пусть и . Тогда , . Если дополнительно известно, что , .

Дата добавления: 2013-12-13