Задачи, приводящие к понятию производной. Определение

Глава 2. Производная.

1⁰. Задача о скорости движения. Точка движется прямолинейно так, что в любой момент времени она находится на расстоянии от начального положения. Найти мгновенную скорость точки в момент времени .

За время пройденный путь изменился на величину . Средняя скорость движения за этот промежуток времени равна , Мгновенной скоростью в момент времени называется предел этого отношения при условии, что . Поэтому .

2⁰. Задача о касательной.Найти угловой коэффициент касательной к графику функции . Касательная это − предельное положение секущей, проходящей через две точки кривой, одна из которых зафиксирована, а другая неограниченно к ней приближается. Т.к. угловой коэффициент секущей равен (см. Рис.), то

Подобную конструкцию приходится использовать и при решении задачи о скорости химической реакции, задачи о плотности материала или плотности заряда стержня, о температурном градиенте и др. Это приводит к необходимости принять следующее общее определение.

Определение. Производной функции в точке называется величина , равная пределу (если он существует) отношения приращения функции к вызвавшему его приращению независимой переменной при условии, что это последнее приращение стремится к нулю, т.е.

.

Может случиться, что существует предел рассмотренного отношения приращений при стремлении к нулю слева, то есть существует . Тогда этот предел называется левосторонней производной. Точно так же величина называется правосторонней производной функции в точке .

Дата добавления: 2013-12-13