Доказательств

Свойства дифференцируемых функций.

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое пропорционально , а второе − бесконечно малая величина более высокого прядка, т.е. , когда . В этом случае главная линейная часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается , т.е. .

Теорема. 1. Функция дифференцируема в точке , тогда и только тогда, когда в этой точке у нее есть производная.

, где .

Пример. Рассмотрим функцию . Так как , то . Таким образом .

Следствие. Если функция дифференцируема в точке , то .

Теорема. 2. Функция, дифференцируемая в точке , непрерывна в этой точке. Обратное утверждение неверно.

Доказательство. Если , то . Непрерывность доказана.

Вторая часть следует из контрпримера: функция всюду непрерывна. В то же время, , , следовательно, не существует, поэтому данная функция не является дифференцируемой .

Дата добавления: 2013-12-13